Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26603 / 43115
↖ ↑ ↗
← S 49.307217°
W 33.865356°		 ← 398.24 m → S 49.307217°
W 33.859863°		 →
↑
398.25 m
↓
↑
398.25 m
↓
S 49.310799°
W 33.865356°		 ← 398.21 m →
158 592 m²		 S 49.310799°
W 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405937194824219 y=0.657890319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405937194824219 × 216)
    floor (0.405937194824219 × 65536)
    floor (26603.5)     		tx = 26603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657890319824219 × 216)
    floor (0.657890319824219 × 65536)
    floor (43115.5)     		ty = 43115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26603 / 43115 ti = "16/26603/43115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26603/43115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26603 ÷ 216
    26603 ÷ 65536     		x = 0.405929565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43115 ÷ 216
    43115 ÷ 65536     		y = 0.657882690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405929565429688 × 2 - 1) × π
    -0.188140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59106197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657882690429688 × 2 - 1) × π
    -0.315765380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.992006200737442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59106197} λ = -0.59106197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992006200737442))-π/2
    2×atan(0.370831980859318)-π/2
    2×0.355111518648871-π/2
    0.710223037297743-1.57079632675     		φ = -0.86057329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59106197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.865356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86057329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.307217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26603 KachelY 43115 -0.59106197 -0.86057329 -33.865356 -49.307217
    Oben rechts KachelX + 1 26604 KachelY 43115 -0.59096610 -0.86057329 -33.859863 -49.307217
    Unten links KachelX 26603 KachelY + 1 43116 -0.59106197 -0.86063580 -33.865356 -49.310799
    Unten rechts KachelX + 1 26604 KachelY + 1 43116 -0.59096610 -0.86063580 -33.859863 -49.310799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86057329--0.86063580) × R
    6.25099999999046e-05 × 6371000     		dl = 398.251209999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86057329--0.86063580) × R
    6.25099999999046e-05 × 6371000     		dr = 398.251209999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59106197--0.59096610) × cos(-0.86057329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652002897409457 × 6371000     		do = 398.235395742253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59106197--0.59096610) × cos(-0.86063580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651955500023835 × 6371000     		du = 398.206445998784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86057329)-sin(-0.86063580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652002897409457-0.651955500023835)×R²
    abs(-0.59096610--0.59106197)×4.73973856228715e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73973856228715e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73973856228715e-05×40589641000000     		ar = 158591.963635527m²