Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26602 / 47096
↖ ↑ ↗
← S 61.585492°
W 33.870850°		 ← 290.67 m → S 61.585492°
W 33.865356°		 →
↑
290.65 m
↓
↑
290.65 m
↓
S 61.588106°
W 33.870850°		 ← 290.65 m →
84 479 m²		 S 61.588106°
W 33.865356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405921936035156 y=0.718635559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405921936035156 × 216)
    floor (0.405921936035156 × 65536)
    floor (26602.5)     		tx = 26602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718635559082031 × 216)
    floor (0.718635559082031 × 65536)
    floor (47096.5)     		ty = 47096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26602 / 47096 ti = "16/26602/47096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26602/47096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26602 ÷ 216
    26602 ÷ 65536     		x = 0.405914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47096 ÷ 216
    47096 ÷ 65536     		y = 0.7186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.18817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59115785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7186279296875 × 2 - 1) × π
    -0.437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37367979551233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59115785} λ = -0.59115785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37367979551233))-π/2
    2×atan(0.253173616212895)-π/2
    2×0.247963358392383-π/2
    0.495926716784767-1.57079632675     		φ = -1.07486961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59115785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.870850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07486961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.585492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26602 KachelY 47096 -0.59115785 -1.07486961 -33.870850 -61.585492
    Oben rechts KachelX + 1 26603 KachelY 47096 -0.59106197 -1.07486961 -33.865356 -61.585492
    Unten links KachelX 26602 KachelY + 1 47097 -0.59115785 -1.07491523 -33.870850 -61.588106
    Unten rechts KachelX + 1 26603 KachelY + 1 47097 -0.59106197 -1.07491523 -33.865356 -61.588106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07486961--1.07491523) × R
    4.56200000000795e-05 × 6371000     		dl = 290.645020000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07486961--1.07491523) × R
    4.56200000000795e-05 × 6371000     		dr = 290.645020000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59115785--0.59106197) × cos(-1.07486961) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.475846928957086 × 6371000     		do = 290.6718008067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59115785--0.59106197) × cos(-1.07491523) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.475806804389457 × 6371000     		du = 290.64729065518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07486961)-sin(-1.07491523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475846928957086-0.475806804389457)×R²
    abs(-0.59106197--0.59115785)×4.0124567628641e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.0124567628641e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.0124567628641e-05×40589641000000     		ar = 84478.74949722m²