Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26602 / 47020
↖ ↑ ↗
← S 61.386198°
W 33.870850°		 ← 292.54 m → S 61.386198°
W 33.865356°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
S 61.388828°
W 33.870850°		 ← 292.51 m →
85 562 m²		 S 61.388828°
W 33.865356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405921936035156 y=0.717475891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405921936035156 × 216)
    floor (0.405921936035156 × 65536)
    floor (26602.5)     		tx = 26602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717475891113281 × 216)
    floor (0.717475891113281 × 65536)
    floor (47020.5)     		ty = 47020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26602 / 47020 ti = "16/26602/47020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26602/47020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26602 ÷ 216
    26602 ÷ 65536     		x = 0.405914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47020 ÷ 216
    47020 ÷ 65536     		y = 0.71746826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.18817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59115785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71746826171875 × 2 - 1) × π
    -0.4349365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36639338677008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59115785} λ = -0.59115785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36639338677008))-π/2
    2×atan(0.255025079731914)-π/2
    2×0.249702529388169-π/2
    0.499405058776337-1.57079632675     		φ = -1.07139127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59115785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.870850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07139127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.386198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26602 KachelY 47020 -0.59115785 -1.07139127 -33.870850 -61.386198
    Oben rechts KachelX + 1 26603 KachelY 47020 -0.59106197 -1.07139127 -33.865356 -61.386198
    Unten links KachelX 26602 KachelY + 1 47021 -0.59115785 -1.07143718 -33.870850 -61.388828
    Unten rechts KachelX + 1 26603 KachelY + 1 47021 -0.59106197 -1.07143718 -33.865356 -61.388828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07139127--1.07143718) × R
    4.59100000000934e-05 × 6371000     		dl = 292.492610000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07139127--1.07143718) × R
    4.59100000000934e-05 × 6371000     		dr = 292.492610000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59115785--0.59106197) × cos(-1.07139127) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.47890334200478 × 6371000     		do = 292.538815240374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59115785--0.59106197) × cos(-1.07143718) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.478863038596856 × 6371000     		du = 292.514195843995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07139127)-sin(-1.07143718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47890334200478-0.478863038596856)×R²
    abs(-0.59106197--0.59115785)×4.03034079237696e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.03034079237696e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.03034079237696e-05×40589641000000     		ar = 85561.8411154205m²