Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26602 / 47009
↖ ↑ ↗
← S 61.357247°
W 33.870850°		 ← 292.81 m → S 61.357247°
W 33.865356°		 →
↑
292.75 m
↓
↑
292.75 m
↓
S 61.359880°
W 33.870850°		 ← 292.79 m →
85 716 m²		 S 61.359880°
W 33.865356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405921936035156 y=0.717308044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405921936035156 × 216)
    floor (0.405921936035156 × 65536)
    floor (26602.5)     		tx = 26602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717308044433594 × 216)
    floor (0.717308044433594 × 65536)
    floor (47009.5)     		ty = 47009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26602 / 47009 ti = "16/26602/47009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26602/47009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26602 ÷ 216
    26602 ÷ 65536     		x = 0.405914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47009 ÷ 216
    47009 ÷ 65536     		y = 0.717300415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.18817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59115785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717300415039062 × 2 - 1) × π
    -0.434600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36533877497844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59115785} λ = -0.59115785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36533877497844))-π/2
    2×atan(0.255294174058248)-π/2
    2×0.249955174866864-π/2
    0.499910349733728-1.57079632675     		φ = -1.07088598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59115785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.870850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07088598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.357247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26602 KachelY 47009 -0.59115785 -1.07088598 -33.870850 -61.357247
    Oben rechts KachelX + 1 26603 KachelY 47009 -0.59106197 -1.07088598 -33.865356 -61.357247
    Unten links KachelX 26602 KachelY + 1 47010 -0.59115785 -1.07093193 -33.870850 -61.359880
    Unten rechts KachelX + 1 26603 KachelY + 1 47010 -0.59106197 -1.07093193 -33.865356 -61.359880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07088598--1.07093193) × R
    4.59500000000723e-05 × 6371000     		dl = 292.747450000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07088598--1.07093193) × R
    4.59500000000723e-05 × 6371000     		dr = 292.747450000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59115785--0.59106197) × cos(-1.07088598) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.479346858588154 × 6371000     		do = 292.809738001732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59115785--0.59106197) × cos(-1.07093193) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.479306531188539 × 6371000     		du = 292.785103949993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07088598)-sin(-1.07093193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479346858588154-0.479306531188539)×R²
    abs(-0.59106197--0.59115785)×4.03273996142928e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.03273996142928e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.03273996142928e-05×40589641000000     		ar = 85715.698372194m²