Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26601 / 47092
↖ ↑ ↗
← S 61.575035°
W 33.876343°		 ← 290.74 m → S 61.575035°
W 33.870850°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
S 61.577650°
W 33.876343°		 ← 290.72 m →
84 535 m²		 S 61.577650°
W 33.870850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405906677246094 y=0.718574523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405906677246094 × 216)
    floor (0.405906677246094 × 65536)
    floor (26601.5)     		tx = 26601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718574523925781 × 216)
    floor (0.718574523925781 × 65536)
    floor (47092.5)     		ty = 47092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26601 / 47092 ti = "16/26601/47092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26601/47092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26601 ÷ 216
    26601 ÷ 65536     		x = 0.405899047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47092 ÷ 216
    47092 ÷ 65536     		y = 0.71856689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405899047851562 × 2 - 1) × π
    -0.188201904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59125372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71856689453125 × 2 - 1) × π
    -0.4371337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37329630031537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59125372} λ = -0.59125372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37329630031537))-π/2
    2×atan(0.25327072569803)-π/2
    2×0.248054616287289-π/2
    0.496109232574578-1.57079632675     		φ = -1.07468709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59125372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.876343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07468709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.575035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26601 KachelY 47092 -0.59125372 -1.07468709 -33.876343 -61.575035
    Oben rechts KachelX + 1 26602 KachelY 47092 -0.59115785 -1.07468709 -33.870850 -61.575035
    Unten links KachelX 26601 KachelY + 1 47093 -0.59125372 -1.07473273 -33.876343 -61.577650
    Unten rechts KachelX + 1 26602 KachelY + 1 47093 -0.59115785 -1.07473273 -33.870850 -61.577650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07468709--1.07473273) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dl = 290.772439999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07468709--1.07473273) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dr = 290.772439999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59125372--0.59115785) × cos(-1.07468709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.476007452501163 × 6371000     		do = 290.73953041656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59125372--0.59115785) × cos(-1.07473273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475967314306946 × 6371000     		du = 290.715014498422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07468709)-sin(-1.07473273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476007452501163-0.475967314306946)×R²
    abs(-0.59115785--0.59125372)×4.01381942174428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01381942174428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01381942174428e-05×40589641000000     		ar = 84535.4784016635m²