Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26600 / 47091
↖ ↑ ↗
← S 61.572420°
W 33.881836°		 ← 290.76 m → S 61.572420°
W 33.876343°		 →
↑
290.71 m
↓
↑
290.71 m
↓
S 61.575035°
W 33.881836°		 ← 290.74 m →
84 524 m²		 S 61.575035°
W 33.876343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405891418457031 y=0.718559265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405891418457031 × 216)
    floor (0.405891418457031 × 65536)
    floor (26600.5)     		tx = 26600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718559265136719 × 216)
    floor (0.718559265136719 × 65536)
    floor (47091.5)     		ty = 47091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26600 / 47091 ti = "16/26600/47091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26600/47091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26600 ÷ 216
    26600 ÷ 65536     		x = 0.4058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47091 ÷ 216
    47091 ÷ 65536     		y = 0.718551635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718551635742188 × 2 - 1) × π
    -0.437103271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37320042651613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59134959} λ = -0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37320042651613))-π/2
    2×atan(0.253295008888781)-π/2
    2×0.248077435570567-π/2
    0.496154871141133-1.57079632675     		φ = -1.07464146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07464146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.572420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26600 KachelY 47091 -0.59134959 -1.07464146 -33.881836 -61.572420
    Oben rechts KachelX + 1 26601 KachelY 47091 -0.59125372 -1.07464146 -33.876343 -61.572420
    Unten links KachelX 26600 KachelY + 1 47092 -0.59134959 -1.07468709 -33.881836 -61.575035
    Unten rechts KachelX + 1 26601 KachelY + 1 47092 -0.59125372 -1.07468709 -33.876343 -61.575035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07464146--1.07468709) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dl = 290.708730000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07464146--1.07468709) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dr = 290.708730000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59134959--0.59125372) × cos(-1.07464146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.476047580909657 × 6371000     		do = 290.764040357698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59134959--0.59125372) × cos(-1.07468709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.476007452501163 × 6371000     		du = 290.73953041656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07464146)-sin(-1.07468709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476047580909657-0.476007452501163)×R²
    abs(-0.59125372--0.59134959)×4.01284084941556e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01284084941556e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01284084941556e-05×40589641000000     		ar = 84524.0822899142m²