Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26600 / 43112
↖ ↑ ↗
← S 49.296472°
W 33.881836°		 ← 398.32 m → S 49.296472°
W 33.876343°		 →
↑
398.31 m
↓
↑
398.31 m
↓
S 49.300054°
W 33.881836°		 ← 398.29 m →
158 652 m²		 S 49.300054°
W 33.876343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405891418457031 y=0.657844543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405891418457031 × 216)
    floor (0.405891418457031 × 65536)
    floor (26600.5)     		tx = 26600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657844543457031 × 216)
    floor (0.657844543457031 × 65536)
    floor (43112.5)     		ty = 43112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26600 / 43112 ti = "16/26600/43112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26600/43112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26600 ÷ 216
    26600 ÷ 65536     		x = 0.4058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43112 ÷ 216
    43112 ÷ 65536     		y = 0.6578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.315673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.991718579339722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59134959} λ = -0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991718579339722))-π/2
    2×atan(0.370938655412179)-π/2
    2×0.355205293865556-π/2
    0.710410587731113-1.57079632675     		φ = -0.86038574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86038574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.296472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26600 KachelY 43112 -0.59134959 -0.86038574 -33.881836 -49.296472
    Oben rechts KachelX + 1 26601 KachelY 43112 -0.59125372 -0.86038574 -33.876343 -49.296472
    Unten links KachelX 26600 KachelY + 1 43113 -0.59134959 -0.86044826 -33.881836 -49.300054
    Unten rechts KachelX + 1 26601 KachelY + 1 43113 -0.59125372 -0.86044826 -33.876343 -49.300054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86038574--0.86044826) × R
    6.25199999999548e-05 × 6371000     		dl = 398.314919999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86038574--0.86044826) × R
    6.25199999999548e-05 × 6371000     		dr = 398.314919999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59134959--0.59125372) × cos(-0.86038574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652145089441261 × 6371000     		do = 398.32224489627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59134959--0.59125372) × cos(-0.86044826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652097692118763 × 6371000     		du = 398.293295191357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86038574)-sin(-0.86044826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652145089441261-0.652097692118763)×R²
    abs(-0.59125372--0.59134959)×4.73973224973667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73973224973667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73973224973667e-05×40589641000000     		ar = 158651.927611899m²