Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2660 / 5741
↖ ↑ ↗
← S 58.378678°
W 63.105469°		 ← 2 562 m → S 58.378678°
W 63.061524°		 →
↑
2 561.21 m
↓
↑
2 561.21 m
↓
S 58.401712°
W 63.105469°		 ← 2 560.33 m →
6 559 672 m²		 S 58.401712°
W 63.061524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32476806640625 y=0.70086669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32476806640625 × 213)
    floor (0.32476806640625 × 8192)
    floor (2660.5)     		tx = 2660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70086669921875 × 213)
    floor (0.70086669921875 × 8192)
    floor (5741.5)     		ty = 5741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2660 / 5741 ti = "13/2660/5741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2660/5741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2660 ÷ 213
    2660 ÷ 8192     		x = 0.32470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5741 ÷ 213
    5741 ÷ 8192     		y = 0.7008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32470703125 × 2 - 1) × π
    -0.3505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10139821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.26169919799988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10139821} λ = -1.10139821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26169919799988))-π/2
    2×atan(0.283172451406872)-π/2
    2×0.275948086669601-π/2
    0.551896173339202-1.57079632675     		φ = -1.01890015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10139821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01890015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.378678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2660 KachelY 5741 -1.10139821 -1.01890015 -63.105469 -58.378678
    Oben rechts KachelX + 1 2661 KachelY 5741 -1.10063122 -1.01890015 -63.061524 -58.378678
    Unten links KachelX 2660 KachelY + 1 5742 -1.10139821 -1.01930216 -63.105469 -58.401712
    Unten rechts KachelX + 1 2661 KachelY + 1 5742 -1.10063122 -1.01930216 -63.061524 -58.401712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01890015--1.01930216) × R
    0.000402010000000175 × 6371000     		dl = 2561.20571000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01890015--1.01930216) × R
    0.000402010000000175 × 6371000     		dr = 2561.20571000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10139821--1.10063122) × cos(-1.01890015) × R
    0.000766990000000023 × 0.524302825520623 × 6371000     		do = 2562.00223883464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10139821--1.10063122) × cos(-1.01930216) × R
    0.000766990000000023 × 0.52396045883088 × 6371000     		du = 2560.32926630249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01890015)-sin(-1.01930216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524302825520623-0.52396045883088)×R²
    abs(-1.10063122--1.10139821)×0.000342366689743301×R²
    0.000766990000000023×0.000342366689743301×6371000²
    0.000766990000000023×0.000342366689743301×40589641000000     		ar = 6559672.43808026m²