Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2660 / 3035
↖ ↑ ↗
← S 65.183030°
E 53.789062°		 ← 4 101.93 m → S 65.183030°
E 53.876953°		 →
↑
4 099.10 m
↓
↑
4 099.10 m
↓
S 65.219894°
E 53.789062°		 ← 4 096.22 m →
16 802 516 m²		 S 65.219894°
E 53.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6495361328125 y=0.7410888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6495361328125 × 212)
    floor (0.6495361328125 × 4096)
    floor (2660.5)     		tx = 2660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7410888671875 × 212)
    floor (0.7410888671875 × 4096)
    floor (3035.5)     		ty = 3035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2660 / 3035 ti = "12/2660/3035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2660/3035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2660 ÷ 212
    2660 ÷ 4096     		x = 0.6494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3035 ÷ 212
    3035 ÷ 4096     		y = 0.740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740966796875 × 2 - 1) × π
    -0.48193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51403903759985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93879624} λ = 0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51403903759985))-π/2
    2×atan(0.220019513771957)-π/2
    2×0.216568917807117-π/2
    0.433137835614234-1.57079632675     		φ = -1.13765849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13765849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.183030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2660 KachelY 3035 0.93879624 -1.13765849 53.789062 -65.183030
    Oben rechts KachelX + 1 2661 KachelY 3035 0.94033022 -1.13765849 53.876953 -65.183030
    Unten links KachelX 2660 KachelY + 1 3036 0.93879624 -1.13830189 53.789062 -65.219894
    Unten rechts KachelX + 1 2661 KachelY + 1 3036 0.94033022 -1.13830189 53.876953 -65.219894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13765849--1.13830189) × R
    0.000643399999999961 × 6371000     		dl = 4099.10139999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13765849--1.13830189) × R
    0.000643399999999961 × 6371000     		dr = 4099.10139999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93879624-0.94033022) × cos(-1.13765849) × R
    0.00153398000000005 × 0.419720931666003 × 6371000     		do = 4101.92703251707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93879624-0.94033022) × cos(-1.13830189) × R
    0.00153398000000005 × 0.419136860759979 × 6371000     		du = 4096.21891539072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13765849)-sin(-1.13830189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419720931666003-0.419136860759979)×R²
    abs(0.94033022-0.93879624)×0.000584070906024747×R²
    0.00153398000000005×0.000584070906024747×6371000²
    0.00153398000000005×0.000584070906024747×40589641000000     		ar = 16802516.3458695m²