Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 266 / 793
↖ ↑ ↗
← S 69.778952°
W 86.484375°		 ← 13.512 km → S 69.778952°
W 86.132812°		 →
↑
13.473 km
↓
↑
13.473 km
↓
S 69.900118°
W 86.484375°		 ← 13.434 km →
181.523 km²		 S 69.900118°
W 86.132812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26025390625 y=0.77490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26025390625 × 210)
    floor (0.26025390625 × 1024)
    floor (266.5)     		tx = 266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77490234375 × 210)
    floor (0.77490234375 × 1024)
    floor (793.5)     		ty = 793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 266 / 793 ti = "10/266/793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/266/793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 266 ÷ 210
    266 ÷ 1024     		x = 0.259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 793 ÷ 210
    793 ÷ 1024     		y = 0.7744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259765625 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.50943710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    -0.548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72419440553418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50943710} λ = -1.50943710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72419440553418))-π/2
    2×atan(0.178316644828485)-π/2
    2×0.176461934861112-π/2
    0.352923869722225-1.57079632675     		φ = -1.21787246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50943710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21787246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.778952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 266 KachelY 793 -1.50943710 -1.21787246 -86.484375 -69.778952
    Oben rechts KachelX + 1 267 KachelY 793 -1.50330117 -1.21787246 -86.132812 -69.778952
    Unten links KachelX 266 KachelY + 1 794 -1.50943710 -1.21998720 -86.484375 -69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 267 KachelY + 1 794 -1.50330117 -1.21998720 -86.132812 -69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21787246--1.21998720) × R
    0.00211474000000011 × 6371000     		dl = 13473.0085400007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21787246--1.21998720) × R
    0.00211474000000011 × 6371000     		dr = 13473.0085400007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50943710--1.50330117) × cos(-1.21787246) × R
    0.0061359299999999 × 0.345642938510007 × 6371000     		do = 13511.8772190317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50943710--1.50330117) × cos(-1.21998720) × R
    0.0061359299999999 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 13434.2728650557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21787246)-sin(-1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345642938510007-0.343657766759656)×R²
    abs(-1.50330117--1.50943710)×0.00198517175035123×R²
    0.0061359299999999×0.00198517175035123×6371000²
    0.0061359299999999×0.00198517175035123×40589641000000     		ar = 181522922.750971m²