Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26599 / 47078
↖ ↑ ↗
← S 61.538406°
W 33.887329°		 ← 291.11 m → S 61.538406°
W 33.881836°		 →
↑
291.09 m
↓
↑
291.09 m
↓
S 61.541024°
W 33.887329°		 ← 291.09 m →
84 737 m²		 S 61.541024°
W 33.881836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405876159667969 y=0.718360900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405876159667969 × 216)
    floor (0.405876159667969 × 65536)
    floor (26599.5)     		tx = 26599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718360900878906 × 216)
    floor (0.718360900878906 × 65536)
    floor (47078.5)     		ty = 47078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26599 / 47078 ti = "16/26599/47078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26599/47078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26599 ÷ 216
    26599 ÷ 65536     		x = 0.405868530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47078 ÷ 216
    47078 ÷ 65536     		y = 0.718353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405868530273438 × 2 - 1) × π
    -0.188262939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59144547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718353271484375 × 2 - 1) × π
    -0.43670654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37195406712601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59144547} λ = -0.59144547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37195406712601))-π/2
    2×atan(0.25361090231906)-π/2
    2×0.248374261383464-π/2
    0.496748522766928-1.57079632675     		φ = -1.07404780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59144547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.887329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07404780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.538406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26599 KachelY 47078 -0.59144547 -1.07404780 -33.887329 -61.538406
    Oben rechts KachelX + 1 26600 KachelY 47078 -0.59134959 -1.07404780 -33.881836 -61.538406
    Unten links KachelX 26599 KachelY + 1 47079 -0.59144547 -1.07409349 -33.887329 -61.541024
    Unten rechts KachelX + 1 26600 KachelY + 1 47079 -0.59134959 -1.07409349 -33.881836 -61.541024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07404780--1.07409349) × R
    4.56900000000982e-05 × 6371000     		dl = 291.090990000625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07404780--1.07409349) × R
    4.56900000000982e-05 × 6371000     		dr = 291.090990000625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59144547--0.59134959) × cos(-1.07404780) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.476569573186877 × 6371000     		do = 291.113229104318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59144547--0.59134959) × cos(-1.07409349) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.476529404930911 × 6371000     		du = 291.088692265713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07404780)-sin(-1.07409349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476569573186877-0.476529404930911)×R²
    abs(-0.59134959--0.59144547)×4.01682559654781e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.01682559654781e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.01682559654781e-05×40589641000000     		ar = 84736.866850748m²