Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26599 / 47076
↖ ↑ ↗
← S 61.533170°
W 33.887329°		 ← 291.16 m → S 61.533170°
W 33.881836°		 →
↑
291.09 m
↓
↑
291.09 m
↓
S 61.535788°
W 33.887329°		 ← 291.14 m →
84 751 m²		 S 61.535788°
W 33.881836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405876159667969 y=0.718330383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405876159667969 × 216)
    floor (0.405876159667969 × 65536)
    floor (26599.5)     		tx = 26599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718330383300781 × 216)
    floor (0.718330383300781 × 65536)
    floor (47076.5)     		ty = 47076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26599 / 47076 ti = "16/26599/47076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26599/47076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26599 ÷ 216
    26599 ÷ 65536     		x = 0.405868530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47076 ÷ 216
    47076 ÷ 65536     		y = 0.71832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405868530273438 × 2 - 1) × π
    -0.188262939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59144547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.4366455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37176231952753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59144547} λ = -0.59144547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37176231952753))-π/2
    2×atan(0.2536595362631)-π/2
    2×0.248419955769942-π/2
    0.496839911539884-1.57079632675     		φ = -1.07395642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59144547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.887329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07395642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.533170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26599 KachelY 47076 -0.59144547 -1.07395642 -33.887329 -61.533170
    Oben rechts KachelX + 1 26600 KachelY 47076 -0.59134959 -1.07395642 -33.881836 -61.533170
    Unten links KachelX 26599 KachelY + 1 47077 -0.59144547 -1.07400211 -33.887329 -61.535788
    Unten rechts KachelX + 1 26600 KachelY + 1 47077 -0.59134959 -1.07400211 -33.881836 -61.535788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07395642--1.07400211) × R
    4.56899999998761e-05 × 6371000     		dl = 291.090989999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07395642--1.07400211) × R
    4.56899999998761e-05 × 6371000     		dr = 291.090989999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59144547--0.59134959) × cos(-1.07395642) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.476649906714098 × 6371000     		do = 291.162300958315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59144547--0.59134959) × cos(-1.07400211) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.476609740447967 × 6371000     		du = 291.137765335203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07395642)-sin(-1.07400211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476649906714098-0.476609740447967)×R²
    abs(-0.59134959--0.59144547)×4.01662661309587e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.01662661309587e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.01662661309587e-05×40589641000000     		ar = 84751.1514015272m²