Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26598 / 47113
↖ ↑ ↗
← S 61.629897°
W 33.892822°		 ← 290.23 m → S 61.629897°
W 33.887329°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
S 61.632507°
W 33.892822°		 ← 290.20 m →
84 219 m²		 S 61.632507°
W 33.887329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405860900878906 y=0.718894958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405860900878906 × 216)
    floor (0.405860900878906 × 65536)
    floor (26598.5)     		tx = 26598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718894958496094 × 216)
    floor (0.718894958496094 × 65536)
    floor (47113.5)     		ty = 47113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26598 / 47113 ti = "16/26598/47113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26598/47113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26598 ÷ 216
    26598 ÷ 65536     		x = 0.405853271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47113 ÷ 216
    47113 ÷ 65536     		y = 0.718887329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.18829345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59154134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718887329101562 × 2 - 1) × π
    -0.437774658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37530965009941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59154134} λ = -0.59154134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37530965009941))-π/2
    2×atan(0.252761316119052)-π/2
    2×0.247575855590827-π/2
    0.495151711181654-1.57079632675     		φ = -1.07564462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59154134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.892822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07564462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.629897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26598 KachelY 47113 -0.59154134 -1.07564462 -33.892822 -61.629897
    Oben rechts KachelX + 1 26599 KachelY 47113 -0.59144547 -1.07564462 -33.887329 -61.629897
    Unten links KachelX 26598 KachelY + 1 47114 -0.59154134 -1.07569017 -33.892822 -61.632507
    Unten rechts KachelX + 1 26599 KachelY + 1 47114 -0.59144547 -1.07569017 -33.887329 -61.632507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07564462--1.07569017) × R
    4.55499999998388e-05 × 6371000     		dl = 290.199049998973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07564462--1.07569017) × R
    4.55499999998388e-05 × 6371000     		dr = 290.199049998973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59154134--0.59144547) × cos(-1.07564462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475165143036602 × 6371000     		do = 290.225058097051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59154134--0.59144547) × cos(-1.07569017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475125063251992 × 6371000     		du = 290.200577854787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07564462)-sin(-1.07569017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475165143036602-0.475125063251992)×R²
    abs(-0.59144547--0.59154134)×4.00797846098477e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00797846098477e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00797846098477e-05×40589641000000     		ar = 84219.4840884772m²