Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26598 / 47110
↖ ↑ ↗
← S 61.622065°
W 33.892822°		 ← 290.30 m → S 61.622065°
W 33.887329°		 →
↑
290.33 m
↓
↑
290.33 m
↓
S 61.624676°
W 33.892822°		 ← 290.27 m →
84 278 m²		 S 61.624676°
W 33.887329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405860900878906 y=0.718849182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405860900878906 × 216)
    floor (0.405860900878906 × 65536)
    floor (26598.5)     		tx = 26598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718849182128906 × 216)
    floor (0.718849182128906 × 65536)
    floor (47110.5)     		ty = 47110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26598 / 47110 ti = "16/26598/47110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26598/47110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26598 ÷ 216
    26598 ÷ 65536     		x = 0.405853271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47110 ÷ 216
    47110 ÷ 65536     		y = 0.718841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.18829345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59154134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.43768310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37502202870169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59154134} λ = -0.59154134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37502202870169))-π/2
    2×atan(0.252834026138061)-π/2
    2×0.247644198070057-π/2
    0.495288396140113-1.57079632675     		φ = -1.07550793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59154134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.892822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07550793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.622065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26598 KachelY 47110 -0.59154134 -1.07550793 -33.892822 -61.622065
    Oben rechts KachelX + 1 26599 KachelY 47110 -0.59144547 -1.07550793 -33.887329 -61.622065
    Unten links KachelX 26598 KachelY + 1 47111 -0.59154134 -1.07555350 -33.892822 -61.624676
    Unten rechts KachelX + 1 26599 KachelY + 1 47111 -0.59144547 -1.07555350 -33.887329 -61.624676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07550793--1.07555350) × R
    4.55700000001613e-05 × 6371000     		dl = 290.326470001028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07550793--1.07555350) × R
    4.55700000001613e-05 × 6371000     		dr = 290.326470001028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59154134--0.59144547) × cos(-1.07550793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475285411668124 × 6371000     		do = 290.298516706299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59154134--0.59144547) × cos(-1.07555350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475245317245184 × 6371000     		du = 290.274027523122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07550793)-sin(-1.07555350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475285411668124-0.475245317245184)×R²
    abs(-0.59144547--0.59154134)×4.00944229398403e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00944229398403e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00944229398403e-05×40589641000000     		ar = 84277.7886871928m²