Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26596 / 47011
↖ ↑ ↗
← S 61.362512°
W 33.903809°		 ← 292.73 m → S 61.362512°
W 33.898316°		 →
↑
292.75 m
↓
↑
292.75 m
↓
S 61.365145°
W 33.903809°		 ← 292.71 m →
85 692 m²		 S 61.365145°
W 33.898316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405830383300781 y=0.717338562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405830383300781 × 216)
    floor (0.405830383300781 × 65536)
    floor (26596.5)     		tx = 26596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717338562011719 × 216)
    floor (0.717338562011719 × 65536)
    floor (47011.5)     		ty = 47011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26596 / 47011 ti = "16/26596/47011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26596/47011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26596 ÷ 216
    26596 ÷ 65536     		x = 0.40582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47011 ÷ 216
    47011 ÷ 65536     		y = 0.717330932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40582275390625 × 2 - 1) × π
    -0.1883544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59173309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717330932617188 × 2 - 1) × π
    -0.434661865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36553052257692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59173309} λ = -0.59173309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36553052257692))-π/2
    2×atan(0.255245226706385)-π/2
    2×0.249909221928843-π/2
    0.499818443857685-1.57079632675     		φ = -1.07097788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59173309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.903809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07097788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.362512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26596 KachelY 47011 -0.59173309 -1.07097788 -33.903809 -61.362512
    Oben rechts KachelX + 1 26597 KachelY 47011 -0.59163722 -1.07097788 -33.898316 -61.362512
    Unten links KachelX 26596 KachelY + 1 47012 -0.59173309 -1.07102383 -33.903809 -61.365145
    Unten rechts KachelX + 1 26597 KachelY + 1 47012 -0.59163722 -1.07102383 -33.898316 -61.365145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07097788--1.07102383) × R
    4.59499999998503e-05 × 6371000     		dl = 292.747449999046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07097788--1.07102383) × R
    4.59499999998503e-05 × 6371000     		dr = 292.747449999046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59173309--0.59163722) × cos(-1.07097788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479266202776916 × 6371000     		do = 292.729935230474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59173309--0.59163722) × cos(-1.07102383) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479225873353369 × 6371000     		du = 292.7053025118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07097788)-sin(-1.07102383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479266202776916-0.479225873353369)×R²
    abs(-0.59163722--0.59173309)×4.03294235469809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03294235469809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03294235469809e-05×40589641000000     		ar = 85692.3365095195m²