Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26595 / 51046
↖ ↑ ↗
← S 70.329835°
W 33.909302°		 ← 205.59 m → S 70.329835°
W 33.903809°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
S 70.331684°
W 33.909302°		 ← 205.58 m →
42 267 m²		 S 70.331684°
W 33.903809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405815124511719 y=0.778907775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405815124511719 × 216)
    floor (0.405815124511719 × 65536)
    floor (26595.5)     		tx = 26595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778907775878906 × 216)
    floor (0.778907775878906 × 65536)
    floor (51046.5)     		ty = 51046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26595 / 51046 ti = "16/26595/51046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26595/51046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26595 ÷ 216
    26595 ÷ 65536     		x = 0.405807495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51046 ÷ 216
    51046 ÷ 65536     		y = 0.778900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405807495117188 × 2 - 1) × π
    -0.188385009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59182896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.55780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75238130251077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59182896} λ = -0.59182896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75238130251077))-π/2
    2×atan(0.173360627433147)-π/2
    2×0.171654566241816-π/2
    0.343309132483632-1.57079632675     		φ = -1.22748719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59182896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.909302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22748719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.329835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26595 KachelY 51046 -0.59182896 -1.22748719 -33.909302 -70.329835
    Oben rechts KachelX + 1 26596 KachelY 51046 -0.59173309 -1.22748719 -33.903809 -70.329835
    Unten links KachelX 26595 KachelY + 1 51047 -0.59182896 -1.22751946 -33.909302 -70.331684
    Unten rechts KachelX + 1 26596 KachelY + 1 51047 -0.59173309 -1.22751946 -33.903809 -70.331684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22748719--1.22751946) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dl = 205.592169999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22748719--1.22751946) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dr = 205.592169999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59182896--0.59173309) × cos(-1.22748719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336604964694836 × 6371000     		do = 205.594195756883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59182896--0.59173309) × cos(-1.22751946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336574577604728 × 6371000     		du = 205.575635693879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22748719)-sin(-1.22751946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336604964694836-0.336574577604728)×R²
    abs(-0.59173309--0.59182896)×3.03870901078307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03870901078307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03870901078307e-05×40589641000000     		ar = 42266.6489467041m²