Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26593 / 5728
↖ ↑ ↗
← N 81.440137°
W 33.920288°		 ← 90.91 m → N 81.440137°
W 33.914795°		 →
↑
90.91 m
↓
↑
90.91 m
↓
N 81.439319°
W 33.920288°		 ← 90.92 m →
8 266 m²		 N 81.439319°
W 33.914795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405784606933594 y=0.0874099731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405784606933594 × 216)
    floor (0.405784606933594 × 65536)
    floor (26593.5)     		tx = 26593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0874099731445312 × 216)
    floor (0.0874099731445312 × 65536)
    floor (5728.5)     		ty = 5728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26593 / 5728 ti = "16/26593/5728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26593/5728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26593 ÷ 216
    26593 ÷ 65536     		x = 0.405776977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5728 ÷ 216
    5728 ÷ 65536     		y = 0.08740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405776977539062 × 2 - 1) × π
    -0.188446044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59202071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08740234375 × 2 - 1) × π
    0.8251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59202071} λ = -0.59202071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59242753145264))-π/2
    2×atan(13.3621693503844)-π/2
    2×1.49609742825458-π/2
    2.99219485650916-1.57079632675     		φ = 1.42139853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59202071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.920288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42139853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.440137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26593 KachelY 5728 -0.59202071 1.42139853 -33.920288 81.440137
    Oben rechts KachelX + 1 26594 KachelY 5728 -0.59192484 1.42139853 -33.914795 81.440137
    Unten links KachelX 26593 KachelY + 1 5729 -0.59202071 1.42138426 -33.920288 81.439319
    Unten rechts KachelX + 1 26594 KachelY + 1 5729 -0.59192484 1.42138426 -33.914795 81.439319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42139853-1.42138426) × R
    1.42700000000939e-05 × 6371000     		dl = 90.9141700005984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42139853-1.42138426) × R
    1.42700000000939e-05 × 6371000     		dr = 90.9141700005984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59202071--0.59192484) × cos(1.42139853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14884266430057 × 6371000     		do = 90.911279009002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59202071--0.59192484) × cos(1.42138426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148856775330327 × 6371000     		du = 90.9198978533992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42139853)-sin(1.42138426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14884266430057-0.148856775330327)×R²
    abs(-0.59192484--0.59202071)×1.41110297562086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41110297562086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41110297562086e-05×40589641000000     		ar = 8265.51526249291m²