Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26592 / 47008
↖ ↑ ↗
← S 61.354614°
W 33.925781°		 ← 292.80 m → S 61.354614°
W 33.920288°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
S 61.357247°
W 33.925781°		 ← 292.78 m →
85 733 m²		 S 61.357247°
W 33.920288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405769348144531 y=0.717292785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405769348144531 × 216)
    floor (0.405769348144531 × 65536)
    floor (26592.5)     		tx = 26592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717292785644531 × 216)
    floor (0.717292785644531 × 65536)
    floor (47008.5)     		ty = 47008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26592 / 47008 ti = "16/26592/47008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26592/47008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26592 ÷ 216
    26592 ÷ 65536     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47008 ÷ 216
    47008 ÷ 65536     		y = 0.71728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71728515625 × 2 - 1) × π
    -0.4345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.3652429011792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3652429011792))-π/2
    2×atan(0.255318651253981)-π/2
    2×0.249978154235966-π/2
    0.499956308471932-1.57079632675     		φ = -1.07084002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07084002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.354614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26592 KachelY 47008 -0.59211658 -1.07084002 -33.925781 -61.354614
    Oben rechts KachelX + 1 26593 KachelY 47008 -0.59202071 -1.07084002 -33.920288 -61.354614
    Unten links KachelX 26592 KachelY + 1 47009 -0.59211658 -1.07088598 -33.925781 -61.357247
    Unten rechts KachelX + 1 26593 KachelY + 1 47009 -0.59202071 -1.07088598 -33.920288 -61.357247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07084002--1.07088598) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dl = 292.811160000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07084002--1.07088598) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dr = 292.811160000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.59202071) × cos(-1.07084002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479387193751709 × 6371000     		do = 292.803835038158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.59202071) × cos(-1.07088598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479346858588154 × 6371000     		du = 292.779198813557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07084002)-sin(-1.07088598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479387193751709-0.479346858588154)×R²
    abs(-0.59202071--0.59211658)×4.03351635552274e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03351635552274e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03351635552274e-05×40589641000000     		ar = 85732.6237243559m²