Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26591 / 47114
↖ ↑ ↗
← S 61.632507°
W 33.931275°		 ← 290.23 m → S 61.632507°
W 33.925781°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
S 61.635117°
W 33.931275°		 ← 290.21 m →
84 221 m²		 S 61.635117°
W 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405754089355469 y=0.718910217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405754089355469 × 216)
    floor (0.405754089355469 × 65536)
    floor (26591.5)     		tx = 26591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718910217285156 × 216)
    floor (0.718910217285156 × 65536)
    floor (47114.5)     		ty = 47114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26591 / 47114 ti = "16/26591/47114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26591/47114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26591 ÷ 216
    26591 ÷ 65536     		x = 0.405746459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47114 ÷ 216
    47114 ÷ 65536     		y = 0.718902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405746459960938 × 2 - 1) × π
    -0.188507080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59221246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.43780517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37540552389865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59221246} λ = -0.59221246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37540552389865))-π/2
    2×atan(0.252737084093002)-π/2
    2×0.247553078607621-π/2
    0.495106157215241-1.57079632675     		φ = -1.07569017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59221246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.931275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07569017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.632507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26591 KachelY 47114 -0.59221246 -1.07569017 -33.931275 -61.632507
    Oben rechts KachelX + 1 26592 KachelY 47114 -0.59211658 -1.07569017 -33.925781 -61.632507
    Unten links KachelX 26591 KachelY + 1 47115 -0.59221246 -1.07573572 -33.931275 -61.635117
    Unten rechts KachelX + 1 26592 KachelY + 1 47115 -0.59211658 -1.07573572 -33.925781 -61.635117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07569017--1.07573572) × R
    4.55500000000608e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07569017--1.07573572) × R
    4.55500000000608e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59221246--0.59211658) × cos(-1.07569017) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.475125063251992 × 6371000     		do = 290.230848072719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59221246--0.59211658) × cos(-1.07573572) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.475084982481591 × 6371000     		du = 290.2063646748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07569017)-sin(-1.07573572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475125063251992-0.475084982481591)×R²
    abs(-0.59211658--0.59221246)×4.00807704007411e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.00807704007411e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.00807704007411e-05×40589641000000     		ar = 84221.1638769535m²