Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2659 / 5740
↖ ↑ ↗
← S 58.355631°
W 63.149414°		 ← 2 563.68 m → S 58.355631°
W 63.105469°		 →
↑
2 562.80 m
↓
↑
2 562.80 m
↓
S 58.378678°
W 63.149414°		 ← 2 562 m →
6 568 040 m²		 S 58.378678°
W 63.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32464599609375 y=0.70074462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32464599609375 × 213)
    floor (0.32464599609375 × 8192)
    floor (2659.5)     		tx = 2659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70074462890625 × 213)
    floor (0.70074462890625 × 8192)
    floor (5740.5)     		ty = 5740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2659 / 5740 ti = "13/2659/5740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2659/5740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2659 ÷ 213
    2659 ÷ 8192     		x = 0.3245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5740 ÷ 213
    5740 ÷ 8192     		y = 0.70068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3245849609375 × 2 - 1) × π
    -0.350830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.10216520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.70068359375 × 2 - 1) × π
    -0.4013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.26093220760596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10216520} λ = -1.10216520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26093220760596))-π/2
    2×atan(0.283389725269755)-π/2
    2×0.276149219953002-π/2
    0.552298439906003-1.57079632675     		φ = -1.01849789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10216520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.149414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01849789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.355631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2659 KachelY 5740 -1.10216520 -1.01849789 -63.149414 -58.355631
    Oben rechts KachelX + 1 2660 KachelY 5740 -1.10139821 -1.01849789 -63.105469 -58.355631
    Unten links KachelX 2659 KachelY + 1 5741 -1.10216520 -1.01890015 -63.149414 -58.378678
    Unten rechts KachelX + 1 2660 KachelY + 1 5741 -1.10139821 -1.01890015 -63.105469 -58.378678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01849789--1.01890015) × R
    0.000402259999999988 × 6371000     		dl = 2562.79845999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01849789--1.01890015) × R
    0.000402259999999988 × 6371000     		dr = 2562.79845999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10216520--1.10139821) × cos(-1.01849789) × R
    0.000766990000000023 × 0.524645320306961 × 6371000     		do = 2563.67583730994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10216520--1.10139821) × cos(-1.01890015) × R
    0.000766990000000023 × 0.524302825520623 × 6371000     		du = 2562.00223883464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01849789)-sin(-1.01890015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524645320306961-0.524302825520623)×R²
    abs(-1.10139821--1.10216520)×0.00034249478633841×R²
    0.000766990000000023×0.00034249478633841×6371000²
    0.000766990000000023×0.00034249478633841×40589641000000     		ar = 6568040.02856506m²