Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26589 / 5855
↖ ↑ ↗
← N 81.335672°
W 33.942261°		 ← 92.02 m → N 81.335672°
W 33.936767°		 →
↑
92 m
↓
↑
92 m
↓
N 81.334844°
W 33.942261°		 ← 92.03 m →
8 466 m²		 N 81.334844°
W 33.936767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405723571777344 y=0.0893478393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405723571777344 × 216)
    floor (0.405723571777344 × 65536)
    floor (26589.5)     		tx = 26589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0893478393554688 × 216)
    floor (0.0893478393554688 × 65536)
    floor (5855.5)     		ty = 5855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26589 / 5855 ti = "16/26589/5855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26589/5855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26589 ÷ 216
    26589 ÷ 65536     		x = 0.405715942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5855 ÷ 216
    5855 ÷ 65536     		y = 0.0893402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405715942382812 × 2 - 1) × π
    -0.188568115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59240421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0893402099609375 × 2 - 1) × π
    0.821319580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58025155894914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59240421} λ = -0.59240421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58025155894914))-π/2
    2×atan(13.2004584354705)-π/2
    2×1.49518579951128-π/2
    2.99037159902255-1.57079632675     		φ = 1.41957527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59240421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.942261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41957527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.335672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26589 KachelY 5855 -0.59240421 1.41957527 -33.942261 81.335672
    Oben rechts KachelX + 1 26590 KachelY 5855 -0.59230833 1.41957527 -33.936767 81.335672
    Unten links KachelX 26589 KachelY + 1 5856 -0.59240421 1.41956083 -33.942261 81.334844
    Unten rechts KachelX + 1 26590 KachelY + 1 5856 -0.59230833 1.41956083 -33.936767 81.334844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41957527-1.41956083) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dl = 91.9972399996747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41957527-1.41956083) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dr = 91.9972399996747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59240421--0.59230833) × cos(1.41957527) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150645366412292 × 6371000     		do = 92.0219450280306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59240421--0.59230833) × cos(1.41956083) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150659641605406 × 6371000     		du = 92.0306650508713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41957527)-sin(1.41956083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150645366412292-0.150659641605406)×R²
    abs(-0.59230833--0.59240421)×1.4275193113561e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4275193113561e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4275193113561e-05×40589641000000     		ar = 8466.16607090926m²