Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26589 / 47005
↖ ↑ ↗
← S 61.346713°
W 33.942261°		 ← 292.91 m → S 61.346713°
W 33.936767°		 →
↑
292.87 m
↓
↑
292.87 m
↓
S 61.349346°
W 33.942261°		 ← 292.88 m →
85 782 m²		 S 61.349346°
W 33.936767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405723571777344 y=0.717247009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405723571777344 × 216)
    floor (0.405723571777344 × 65536)
    floor (26589.5)     		tx = 26589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717247009277344 × 216)
    floor (0.717247009277344 × 65536)
    floor (47005.5)     		ty = 47005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26589 / 47005 ti = "16/26589/47005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26589/47005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26589 ÷ 216
    26589 ÷ 65536     		x = 0.405715942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47005 ÷ 216
    47005 ÷ 65536     		y = 0.717239379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405715942382812 × 2 - 1) × π
    -0.188568115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59240421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717239379882812 × 2 - 1) × π
    -0.434478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36495527978148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59240421} λ = -0.59240421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36495527978148))-π/2
    2×atan(0.255392096923085)-π/2
    2×0.250047103945009-π/2
    0.500094207890019-1.57079632675     		φ = -1.07070212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59240421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.942261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07070212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.346713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26589 KachelY 47005 -0.59240421 -1.07070212 -33.942261 -61.346713
    Oben rechts KachelX + 1 26590 KachelY 47005 -0.59230833 -1.07070212 -33.936767 -61.346713
    Unten links KachelX 26589 KachelY + 1 47006 -0.59240421 -1.07074809 -33.942261 -61.349346
    Unten rechts KachelX + 1 26590 KachelY + 1 47006 -0.59230833 -1.07074809 -33.936767 -61.349346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07070212--1.07074809) × R
    4.59699999999508e-05 × 6371000     		dl = 292.874869999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07070212--1.07074809) × R
    4.59699999999508e-05 × 6371000     		dr = 292.874869999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59240421--0.59230833) × cos(-1.07070212) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.479508210717062 × 6371000     		do = 292.908300188477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59240421--0.59230833) × cos(-1.07074809) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.479467869816468 × 6371000     		du = 292.883657889645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07070212)-sin(-1.07074809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479508210717062-0.479467869816468)×R²
    abs(-0.59230833--0.59240421)×4.03409005934052e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.03409005934052e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.03409005934052e-05×40589641000000     		ar = 85781.8717996925m²