Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26588 / 47093
↖ ↑ ↗
← S 61.577650°
W 33.947754°		 ← 290.72 m → S 61.577650°
W 33.942261°		 →
↑
290.71 m
↓
↑
290.71 m
↓
S 61.580264°
W 33.947754°		 ← 290.69 m →
84 510 m²		 S 61.580264°
W 33.942261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405708312988281 y=0.718589782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405708312988281 × 216)
    floor (0.405708312988281 × 65536)
    floor (26588.5)     		tx = 26588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718589782714844 × 216)
    floor (0.718589782714844 × 65536)
    floor (47093.5)     		ty = 47093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26588 / 47093 ti = "16/26588/47093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26588/47093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26588 ÷ 216
    26588 ÷ 65536     		x = 0.40570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47093 ÷ 216
    47093 ÷ 65536     		y = 0.718582153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1885986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59250008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718582153320312 × 2 - 1) × π
    -0.437164306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37339217411461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59250008} λ = -0.59250008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37339217411461))-π/2
    2×atan(0.253246444835289)-π/2
    2×0.248031798927946-π/2
    0.496063597855892-1.57079632675     		φ = -1.07473273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59250008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.947754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07473273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.577650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26588 KachelY 47093 -0.59250008 -1.07473273 -33.947754 -61.577650
    Oben rechts KachelX + 1 26589 KachelY 47093 -0.59240421 -1.07473273 -33.942261 -61.577650
    Unten links KachelX 26588 KachelY + 1 47094 -0.59250008 -1.07477836 -33.947754 -61.580264
    Unten rechts KachelX + 1 26589 KachelY + 1 47094 -0.59240421 -1.07477836 -33.942261 -61.580264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07473273--1.07477836) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dl = 290.708730000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07473273--1.07477836) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dr = 290.708730000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59250008--0.59240421) × cos(-1.07473273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475967314306946 × 6371000     		do = 290.715014498422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59250008--0.59240421) × cos(-1.07477836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.47592718391613 × 6371000     		du = 290.690503346507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07473273)-sin(-1.07477836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475967314306946-0.47592718391613)×R²
    abs(-0.59240421--0.59250008)×4.01303908151296e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01303908151296e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01303908151296e-05×40589641000000     		ar = 84509.8298685661m²