Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26584 / 51034
↖ ↑ ↗
← S 70.307636°
W 33.969726°		 ← 205.82 m → S 70.307636°
W 33.964233°		 →
↑
205.78 m
↓
↑
205.78 m
↓
S 70.309486°
W 33.969726°		 ← 205.80 m →
42 352 m²		 S 70.309486°
W 33.964233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405647277832031 y=0.778724670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405647277832031 × 216)
    floor (0.405647277832031 × 65536)
    floor (26584.5)     		tx = 26584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778724670410156 × 216)
    floor (0.778724670410156 × 65536)
    floor (51034.5)     		ty = 51034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26584 / 51034 ti = "16/26584/51034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26584/51034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26584 ÷ 216
    26584 ÷ 65536     		x = 0.4056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51034 ÷ 216
    51034 ÷ 65536     		y = 0.778717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59288357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.55743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75123081691989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59288357} λ = -0.59288357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75123081691989))-π/2
    2×atan(0.173560191112592)-π/2
    2×0.171848300737682-π/2
    0.343696601475364-1.57079632675     		φ = -1.22709973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59288357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.969726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22709973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.307636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26584 KachelY 51034 -0.59288357 -1.22709973 -33.969726 -70.307636
    Oben rechts KachelX + 1 26585 KachelY 51034 -0.59278770 -1.22709973 -33.964233 -70.307636
    Unten links KachelX 26584 KachelY + 1 51035 -0.59288357 -1.22713203 -33.969726 -70.309486
    Unten rechts KachelX + 1 26585 KachelY + 1 51035 -0.59278770 -1.22713203 -33.964233 -70.309486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22709973--1.22713203) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dl = 205.783299999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22709973--1.22713203) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dr = 205.783299999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59288357--0.59278770) × cos(-1.22709973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336969789559575 × 6371000     		do = 205.817026322458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59288357--0.59278770) × cos(-1.22713203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336939378434452 × 6371000     		du = 205.798451579161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22709973)-sin(-1.22713203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336969789559575-0.336939378434452)×R²
    abs(-0.59278770--0.59288357)×3.0411125122809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0411125122809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0411125122809e-05×40589641000000     		ar = 42351.7956903524m²