Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26584 / 51032
↖ ↑ ↗
← S 70.303933°
W 33.969726°		 ← 205.85 m → S 70.303933°
W 33.964233°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
S 70.305784°
W 33.969726°		 ← 205.84 m →
42 373 m²		 S 70.305784°
W 33.964233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405647277832031 y=0.778694152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405647277832031 × 216)
    floor (0.405647277832031 × 65536)
    floor (26584.5)     		tx = 26584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778694152832031 × 216)
    floor (0.778694152832031 × 65536)
    floor (51032.5)     		ty = 51032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26584 / 51032 ti = "16/26584/51032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26584/51032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26584 ÷ 216
    26584 ÷ 65536     		x = 0.4056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51032 ÷ 216
    51032 ÷ 65536     		y = 0.7786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59288357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75103906932141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59288357} λ = -0.59288357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75103906932141))-π/2
    2×atan(0.173593474053289)-π/2
    2×0.171880610228418-π/2
    0.343761220456837-1.57079632675     		φ = -1.22703511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59288357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.969726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22703511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.303933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26584 KachelY 51032 -0.59288357 -1.22703511 -33.969726 -70.303933
    Oben rechts KachelX + 1 26585 KachelY 51032 -0.59278770 -1.22703511 -33.964233 -70.303933
    Unten links KachelX 26584 KachelY + 1 51033 -0.59288357 -1.22706742 -33.969726 -70.305784
    Unten rechts KachelX + 1 26585 KachelY + 1 51033 -0.59278770 -1.22706742 -33.964233 -70.305784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22703511--1.22706742) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dl = 205.847009999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22703511--1.22706742) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dr = 205.847009999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59288357--0.59278770) × cos(-1.22703511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337030629584991 × 6371000     		do = 205.854186665908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59288357--0.59278770) × cos(-1.22706742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337000209748186 × 6371000     		du = 205.835606601623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22703511)-sin(-1.22706742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337030629584991-0.337000209748186)×R²
    abs(-0.59278770--0.59288357)×3.04198368046293e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04198368046293e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04198368046293e-05×40589641000000     		ar = 42372.5564993391m²