Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26584 / 47006
↖ ↑ ↗
← S 61.349346°
W 33.969726°		 ← 292.85 m → S 61.349346°
W 33.964233°		 →
↑
292.87 m
↓
↑
292.87 m
↓
S 61.351980°
W 33.969726°		 ← 292.83 m →
85 766 m²		 S 61.351980°
W 33.964233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405647277832031 y=0.717262268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405647277832031 × 216)
    floor (0.405647277832031 × 65536)
    floor (26584.5)     		tx = 26584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717262268066406 × 216)
    floor (0.717262268066406 × 65536)
    floor (47006.5)     		ty = 47006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26584 / 47006 ti = "16/26584/47006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26584/47006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26584 ÷ 216
    26584 ÷ 65536     		x = 0.4056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47006 ÷ 216
    47006 ÷ 65536     		y = 0.717254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59288357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.43450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36505115358072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59288357} λ = -0.59288357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36505115358072))-π/2
    2×atan(0.255367612686175)-π/2
    2×0.250024118774925-π/2
    0.500048237549849-1.57079632675     		φ = -1.07074809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59288357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.969726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07074809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.349346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26584 KachelY 47006 -0.59288357 -1.07074809 -33.969726 -61.349346
    Oben rechts KachelX + 1 26585 KachelY 47006 -0.59278770 -1.07074809 -33.964233 -61.349346
    Unten links KachelX 26584 KachelY + 1 47007 -0.59288357 -1.07079406 -33.969726 -61.351980
    Unten rechts KachelX + 1 26585 KachelY + 1 47007 -0.59278770 -1.07079406 -33.964233 -61.351980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07074809--1.07079406) × R
    4.59700000001728e-05 × 6371000     		dl = 292.874870001101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07074809--1.07079406) × R
    4.59700000001728e-05 × 6371000     		dr = 292.874870001101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59288357--0.59278770) × cos(-1.07074809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479467869816468 × 6371000     		do = 292.853110991845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59288357--0.59278770) × cos(-1.07079406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479427527902644 × 6371000     		du = 292.828470644262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07074809)-sin(-1.07079406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479467869816468-0.479427527902644)×R²
    abs(-0.59278770--0.59288357)×4.03419138246819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03419138246819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03419138246819e-05×40589641000000     		ar = 85765.7085568032m²