Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26584 / 47004
↖ ↑ ↗
← S 61.344078°
W 33.969726°		 ← 292.90 m → S 61.344078°
W 33.964233°		 →
↑
292.94 m
↓
↑
292.94 m
↓
S 61.346713°
W 33.969726°		 ← 292.88 m →
85 799 m²		 S 61.346713°
W 33.964233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405647277832031 y=0.717231750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405647277832031 × 216)
    floor (0.405647277832031 × 65536)
    floor (26584.5)     		tx = 26584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717231750488281 × 216)
    floor (0.717231750488281 × 65536)
    floor (47004.5)     		ty = 47004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26584 / 47004 ti = "16/26584/47004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26584/47004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26584 ÷ 216
    26584 ÷ 65536     		x = 0.4056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47004 ÷ 216
    47004 ÷ 65536     		y = 0.71722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59288357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.4344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36485940598224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59288357} λ = -0.59288357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36485940598224))-π/2
    2×atan(0.255416583507506)-π/2
    2×0.250070091048983-π/2
    0.500140182097966-1.57079632675     		φ = -1.07065614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59288357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.969726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07065614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.344078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26584 KachelY 47004 -0.59288357 -1.07065614 -33.969726 -61.344078
    Oben rechts KachelX + 1 26585 KachelY 47004 -0.59278770 -1.07065614 -33.964233 -61.344078
    Unten links KachelX 26584 KachelY + 1 47005 -0.59288357 -1.07070212 -33.969726 -61.346713
    Unten rechts KachelX + 1 26585 KachelY + 1 47005 -0.59278770 -1.07070212 -33.964233 -61.346713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07065614--1.07070212) × R
    4.597999999989e-05 × 6371000     		dl = 292.938579999299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07065614--1.07070212) × R
    4.597999999989e-05 × 6371000     		dr = 292.938579999299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59288357--0.59278770) × cos(-1.07065614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479548559379492 × 6371000     		do = 292.902395190106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59288357--0.59278770) × cos(-1.07070212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479508210717062 × 6371000     		du = 292.877750720558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07065614)-sin(-1.07070212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479548559379492-0.479508210717062)×R²
    abs(-0.59278770--0.59288357)×4.03486624304117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03486624304117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03486624304117e-05×40589641000000     		ar = 85798.8020824433m²