Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26583 / 51033
↖ ↑ ↗
← S 70.305784°
W 33.975220°		 ← 205.86 m → S 70.305784°
W 33.969726°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
S 70.307636°
W 33.975220°		 ← 205.84 m →
42 373 m²		 S 70.307636°
W 33.969726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405632019042969 y=0.778709411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405632019042969 × 216)
    floor (0.405632019042969 × 65536)
    floor (26583.5)     		tx = 26583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778709411621094 × 216)
    floor (0.778709411621094 × 65536)
    floor (51033.5)     		ty = 51033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26583 / 51033 ti = "16/26583/51033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26583/51033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26583 ÷ 216
    26583 ÷ 65536     		x = 0.405624389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51033 ÷ 216
    51033 ÷ 65536     		y = 0.778701782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405624389648438 × 2 - 1) × π
    -0.188751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59297945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778701782226562 × 2 - 1) × π
    -0.557403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75113494312065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59297945} λ = -0.59297945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75113494312065))-π/2
    2×atan(0.1735768317852)-π/2
    2×0.171864454753941-π/2
    0.343728909507882-1.57079632675     		φ = -1.22706742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59297945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.975220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22706742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.305784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26583 KachelY 51033 -0.59297945 -1.22706742 -33.975220 -70.305784
    Oben rechts KachelX + 1 26584 KachelY 51033 -0.59288357 -1.22706742 -33.969726 -70.305784
    Unten links KachelX 26583 KachelY + 1 51034 -0.59297945 -1.22709973 -33.975220 -70.307636
    Unten rechts KachelX + 1 26584 KachelY + 1 51034 -0.59288357 -1.22709973 -33.969726 -70.307636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22706742--1.22709973) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dl = 205.847009999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22706742--1.22709973) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dr = 205.847009999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59297945--0.59288357) × cos(-1.22706742) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337000209748186 × 6371000     		do = 205.857076884855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59297945--0.59288357) × cos(-1.22709973) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.336969789559575 × 6371000     		du = 205.83849466762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22706742)-sin(-1.22709973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337000209748186-0.336969789559575)×R²
    abs(-0.59288357--0.59297945)×3.04201886112687e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.04201886112687e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.04201886112687e-05×40589641000000     		ar = 42373.1512208652m²