Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26582 / 47038
↖ ↑ ↗
← S 61.433515°
W 33.980713°		 ← 292.07 m → S 61.433515°
W 33.975220°		 →
↑
292.05 m
↓
↑
292.05 m
↓
S 61.436141°
W 33.980713°		 ← 292.04 m →
85 293 m²		 S 61.436141°
W 33.975220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405616760253906 y=0.717750549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405616760253906 × 216)
    floor (0.405616760253906 × 65536)
    floor (26582.5)     		tx = 26582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717750549316406 × 216)
    floor (0.717750549316406 × 65536)
    floor (47038.5)     		ty = 47038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26582 / 47038 ti = "16/26582/47038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26582/47038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26582 ÷ 216
    26582 ÷ 65536     		x = 0.405609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47038 ÷ 216
    47038 ÷ 65536     		y = 0.717742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.18878173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59307532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.43548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3681191151564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59307532} λ = -0.59307532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3681191151564))-π/2
    2×atan(0.254585355244242)-π/2
    2×0.249289613742399-π/2
    0.498579227484797-1.57079632675     		φ = -1.07221710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59307532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.980713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07221710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.433515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26582 KachelY 47038 -0.59307532 -1.07221710 -33.980713 -61.433515
    Oben rechts KachelX + 1 26583 KachelY 47038 -0.59297945 -1.07221710 -33.975220 -61.433515
    Unten links KachelX 26582 KachelY + 1 47039 -0.59307532 -1.07226294 -33.980713 -61.436141
    Unten rechts KachelX + 1 26583 KachelY + 1 47039 -0.59297945 -1.07226294 -33.975220 -61.436141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07221710--1.07226294) × R
    4.58400000000747e-05 × 6371000     		dl = 292.046640000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07221710--1.07226294) × R
    4.58400000000747e-05 × 6371000     		dr = 292.046640000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59307532--0.59297945) × cos(-1.07221710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.478178209351207 × 6371000     		do = 292.06540215221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59307532--0.59297945) × cos(-1.07226294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.478137949280654 × 6371000     		du = 292.040811793498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07221710)-sin(-1.07226294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478178209351207-0.478137949280654)×R²
    abs(-0.59297945--0.59307532)×4.0260070552689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0260070552689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0260070552689e-05×40589641000000     		ar = 85293.1286080238m²