Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26582 / 46990
↖ ↑ ↗
← S 61.307177°
W 33.980713°		 ← 293.25 m → S 61.307177°
W 33.975220°		 →
↑
293.26 m
↓
↑
293.26 m
↓
S 61.309815°
W 33.980713°		 ← 293.22 m →
85 993 m²		 S 61.309815°
W 33.975220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405616760253906 y=0.717018127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405616760253906 × 216)
    floor (0.405616760253906 × 65536)
    floor (26582.5)     		tx = 26582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717018127441406 × 216)
    floor (0.717018127441406 × 65536)
    floor (46990.5)     		ty = 46990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26582 / 46990 ti = "16/26582/46990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26582/46990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26582 ÷ 216
    26582 ÷ 65536     		x = 0.405609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46990 ÷ 216
    46990 ÷ 65536     		y = 0.717010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.18878173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59307532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717010498046875 × 2 - 1) × π
    -0.43402099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36351717279288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59307532} λ = -0.59307532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36351717279288))-π/2
    2×atan(0.25575964230395)-π/2
    2×0.250392113626864-π/2
    0.500784227253727-1.57079632675     		φ = -1.07001210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59307532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.980713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07001210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.307177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26582 KachelY 46990 -0.59307532 -1.07001210 -33.980713 -61.307177
    Oben rechts KachelX + 1 26583 KachelY 46990 -0.59297945 -1.07001210 -33.975220 -61.307177
    Unten links KachelX 26582 KachelY + 1 46991 -0.59307532 -1.07005813 -33.980713 -61.309815
    Unten rechts KachelX + 1 26583 KachelY + 1 46991 -0.59297945 -1.07005813 -33.975220 -61.309815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07001210--1.07005813) × R
    4.60300000000302e-05 × 6371000     		dl = 293.257130000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07001210--1.07005813) × R
    4.60300000000302e-05 × 6371000     		dr = 293.257130000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59307532--0.59297945) × cos(-1.07001210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480113614867285 × 6371000     		do = 293.247524171422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59307532--0.59297945) × cos(-1.07005813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480073236552056 × 6371000     		du = 293.222861590306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07001210)-sin(-1.07005813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480113614867285-0.480073236552056)×R²
    abs(-0.59297945--0.59307532)×4.03783152290171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03783152290171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03783152290171e-05×40589641000000     		ar = 85993.3110946771m²