Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26581 / 10653
↖ ↑ ↗
← N 53.140181°
E112.027588°		 ← 732.81 m → N 53.140181°
E112.038574°		 →
↑
732.86 m
↓
↑
732.86 m
↓
N 53.133590°
E112.027588°		 ← 732.92 m →
537 087 m²		 N 53.133590°
E112.038574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811203002929688 y=0.325119018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811203002929688 × 215)
    floor (0.811203002929688 × 32768)
    floor (26581.5)     		tx = 26581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325119018554688 × 215)
    floor (0.325119018554688 × 32768)
    floor (10653.5)     		ty = 10653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26581 / 10653 ti = "15/26581/10653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26581/10653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26581 ÷ 215
    26581 ÷ 32768     		x = 0.811187744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10653 ÷ 215
    10653 ÷ 32768     		y = 0.325103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811187744140625 × 2 - 1) × π
    0.62237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95525026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325103759765625 × 2 - 1) × π
    0.34979248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09890548689017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95525026} λ = 1.95525026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09890548689017))-π/2
    2×atan(3.00087972362657)-π/2
    2×1.2491337215494-π/2
    2.4982674430988-1.57079632675     		φ = 0.92747112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95525026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.027588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92747112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.140181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26581 KachelY 10653 1.95525026 0.92747112 112.027588 53.140181
    Oben rechts KachelX + 1 26582 KachelY 10653 1.95544201 0.92747112 112.038574 53.140181
    Unten links KachelX 26581 KachelY + 1 10654 1.95525026 0.92735609 112.027588 53.133590
    Unten rechts KachelX + 1 26582 KachelY + 1 10654 1.95544201 0.92735609 112.038574 53.133590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92747112-0.92735609) × R
    0.000115030000000016 × 6371000     		dl = 732.856130000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92747112-0.92735609) × R
    0.000115030000000016 × 6371000     		dr = 732.856130000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95525026-1.95544201) × cos(0.92747112) × R
    0.000191750000000157 × 0.599859269119562 × 6371000     		do = 732.81162763337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95525026-1.95544201) × cos(0.92735609) × R
    0.000191750000000157 × 0.5999513012897 × 6371000     		du = 732.924057744673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92747112)-sin(0.92735609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599859269119562-0.5999513012897)×R²
    abs(1.95544201-1.95525026)×9.2032170138312e-05×R²
    0.000191750000000157×9.2032170138312e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.2032170138312e-05×40589641000000     		ar = 537086.691587015m²