Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26579 / 46988
↖ ↑ ↗
← S 61.301902°
W 33.997192°		 ← 293.30 m → S 61.301902°
W 33.991699°		 →
↑
293.32 m
↓
↑
293.32 m
↓
S 61.304540°
W 33.997192°		 ← 293.27 m →
86 026 m²		 S 61.304540°
W 33.991699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405570983886719 y=0.716987609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405570983886719 × 216)
    floor (0.405570983886719 × 65536)
    floor (26579.5)     		tx = 26579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716987609863281 × 216)
    floor (0.716987609863281 × 65536)
    floor (46988.5)     		ty = 46988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26579 / 46988 ti = "16/26579/46988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26579/46988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26579 ÷ 216
    26579 ÷ 65536     		x = 0.405563354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46988 ÷ 216
    46988 ÷ 65536     		y = 0.71697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405563354492188 × 2 - 1) × π
    -0.188873291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59336294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71697998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4339599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3633254251944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59336294} λ = -0.59336294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3633254251944))-π/2
    2×atan(0.255808688303226)-π/2
    2×0.250438147814579-π/2
    0.500876295629157-1.57079632675     		φ = -1.06992003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59336294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.997192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06992003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.301902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26579 KachelY 46988 -0.59336294 -1.06992003 -33.997192 -61.301902
    Oben rechts KachelX + 1 26580 KachelY 46988 -0.59326707 -1.06992003 -33.991699 -61.301902
    Unten links KachelX 26579 KachelY + 1 46989 -0.59336294 -1.06996607 -33.997192 -61.304540
    Unten rechts KachelX + 1 26580 KachelY + 1 46989 -0.59326707 -1.06996607 -33.991699 -61.304540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06992003--1.06996607) × R
    4.60399999999694e-05 × 6371000     		dl = 293.320839999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06992003--1.06996607) × R
    4.60399999999694e-05 × 6371000     		dr = 293.320839999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59336294--0.59326707) × cos(-1.06992003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480194377217541 × 6371000     		do = 293.296852827234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59336294--0.59326707) × cos(-1.06996607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480153992165268 × 6371000     		du = 293.272186131215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06992003)-sin(-1.06996607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480194377217541-0.480153992165268)×R²
    abs(-0.59326707--0.59336294)×4.03850522725513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03850522725513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03850522725513e-05×40589641000000     		ar = 86026.4616276507m²