Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26578 / 46981
↖ ↑ ↗
← S 61.283432°
W 34.002686°		 ← 293.50 m → S 61.283432°
W 33.997192°		 →
↑
293.45 m
↓
↑
293.45 m
↓
S 61.286071°
W 34.002686°		 ← 293.48 m →
86 123 m²		 S 61.286071°
W 33.997192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405555725097656 y=0.716880798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405555725097656 × 216)
    floor (0.405555725097656 × 65536)
    floor (26578.5)     		tx = 26578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716880798339844 × 216)
    floor (0.716880798339844 × 65536)
    floor (46981.5)     		ty = 46981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26578 / 46981 ti = "16/26578/46981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26578/46981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26578 ÷ 216
    26578 ÷ 65536     		x = 0.405548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46981 ÷ 216
    46981 ÷ 65536     		y = 0.716873168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.18890380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59345882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716873168945312 × 2 - 1) × π
    -0.433746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36265430859972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59345882} λ = -0.59345882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36265430859972))-π/2
    2×atan(0.255980423379693)-π/2
    2×0.250599328456155-π/2
    0.501198656912309-1.57079632675     		φ = -1.06959767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59345882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.002686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06959767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.283432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26578 KachelY 46981 -0.59345882 -1.06959767 -34.002686 -61.283432
    Oben rechts KachelX + 1 26579 KachelY 46981 -0.59336294 -1.06959767 -33.997192 -61.283432
    Unten links KachelX 26578 KachelY + 1 46982 -0.59345882 -1.06964373 -34.002686 -61.286071
    Unten rechts KachelX + 1 26579 KachelY + 1 46982 -0.59336294 -1.06964373 -33.997192 -61.286071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06959767--1.06964373) × R
    4.60599999998479e-05 × 6371000     		dl = 293.448259999031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06959767--1.06964373) × R
    4.60599999998479e-05 × 6371000     		dr = 293.448259999031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59345882--0.59336294) × cos(-1.06959767) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.480477114239181 × 6371000     		do = 293.50015633928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59345882--0.59336294) × cos(-1.06964373) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.480436718774902 × 6371000     		du = 293.47548071014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06959767)-sin(-1.06964373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480477114239181-0.480436718774902)×R²
    abs(-0.59336294--0.59345882)×4.0395464278753e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.0395464278753e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.0395464278753e-05×40589641000000     		ar = 86123.4896921795m²