Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26576 / 51026
↖ ↑ ↗
← S 70.292822°
W 34.013672°		 ← 205.97 m → S 70.292822°
W 34.008179°		 →
↑
205.97 m
↓
↑
205.97 m
↓
S 70.294674°
W 34.013672°		 ← 205.95 m →
42 422 m²		 S 70.294674°
W 34.008179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405525207519531 y=0.778602600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405525207519531 × 216)
    floor (0.405525207519531 × 65536)
    floor (26576.5)     		tx = 26576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778602600097656 × 216)
    floor (0.778602600097656 × 65536)
    floor (51026.5)     		ty = 51026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26576 / 51026 ti = "16/26576/51026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26576/51026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26576 ÷ 216
    26576 ÷ 65536     		x = 0.405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51026 ÷ 216
    51026 ÷ 65536     		y = 0.778594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59365056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.55718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75046382652597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59365056} λ = -0.59365056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75046382652597))-π/2
    2×atan(0.173693361175493)-π/2
    2×0.171977573704289-π/2
    0.343955147408579-1.57079632675     		φ = -1.22684118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59365056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.013672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22684118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.292822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26576 KachelY 51026 -0.59365056 -1.22684118 -34.013672 -70.292822
    Oben rechts KachelX + 1 26577 KachelY 51026 -0.59355469 -1.22684118 -34.008179 -70.292822
    Unten links KachelX 26576 KachelY + 1 51027 -0.59365056 -1.22687351 -34.013672 -70.294674
    Unten rechts KachelX + 1 26577 KachelY + 1 51027 -0.59355469 -1.22687351 -34.008179 -70.294674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22684118--1.22687351) × R
    3.23299999998028e-05 × 6371000     		dl = 205.974429998744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22684118--1.22687351) × R
    3.23299999998028e-05 × 6371000     		dr = 205.974429998744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59365056--0.59355469) × cos(-1.22684118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337213207116082 × 6371000     		do = 205.965702788976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59365056--0.59355469) × cos(-1.22687351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337182770562764 × 6371000     		du = 205.947112514448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22684118)-sin(-1.22687351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337213207116082-0.337182770562764)×R²
    abs(-0.59355469--0.59365056)×3.04365533189133e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04365533189133e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04365533189133e-05×40589641000000     		ar = 42421.7536743076m²