Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26576 / 47102
↖ ↑ ↗
← S 61.601172°
W 34.013672°		 ← 290.49 m → S 61.601172°
W 34.008179°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
S 61.603784°
W 34.013672°		 ← 290.47 m →
84 372 m²		 S 61.603784°
W 34.008179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405525207519531 y=0.718727111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405525207519531 × 216)
    floor (0.405525207519531 × 65536)
    floor (26576.5)     		tx = 26576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718727111816406 × 216)
    floor (0.718727111816406 × 65536)
    floor (47102.5)     		ty = 47102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26576 / 47102 ti = "16/26576/47102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26576/47102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26576 ÷ 216
    26576 ÷ 65536     		x = 0.405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47102 ÷ 216
    47102 ÷ 65536     		y = 0.718719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59365056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.43743896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37425503830777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59365056} λ = -0.59365056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37425503830777))-π/2
    2×atan(0.253028021794258)-π/2
    2×0.247826529252025-π/2
    0.495653058504049-1.57079632675     		φ = -1.07514327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59365056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.013672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07514327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.601172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26576 KachelY 47102 -0.59365056 -1.07514327 -34.013672 -61.601172
    Oben rechts KachelX + 1 26577 KachelY 47102 -0.59355469 -1.07514327 -34.008179 -61.601172
    Unten links KachelX 26576 KachelY + 1 47103 -0.59365056 -1.07518886 -34.013672 -61.603784
    Unten rechts KachelX + 1 26577 KachelY + 1 47103 -0.59355469 -1.07518886 -34.008179 -61.603784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07514327--1.07518886) × R
    4.55899999998177e-05 × 6371000     		dl = 290.453889998839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07514327--1.07518886) × R
    4.55899999998177e-05 × 6371000     		dr = 290.453889998839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59365056--0.59355469) × cos(-1.07514327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475606219478857 × 6371000     		do = 290.494462193616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59365056--0.59355469) × cos(-1.07518886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475566115362733 × 6371000     		du = 290.46996708996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07514327)-sin(-1.07518886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475606219478857-0.475566115362733)×R²
    abs(-0.59355469--0.59365056)×4.01041161245397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01041161245397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01041161245397e-05×40589641000000     		ar = 84371.6892327686m²