Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26576 / 13264
↖ ↑ ↗
← N 32.398516°
E111.972656°		 ← 1 031.48 m → N 32.398516°
E111.983643°		 →
↑
1 031.53 m
↓
↑
1 031.53 m
↓
N 32.389239°
E111.972656°		 ← 1 031.59 m →
1 064 057 m²		 N 32.389239°
E111.983643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811050415039062 y=0.404800415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811050415039062 × 215)
    floor (0.811050415039062 × 32768)
    floor (26576.5)     		tx = 26576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404800415039062 × 215)
    floor (0.404800415039062 × 32768)
    floor (13264.5)     		ty = 13264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26576 / 13264 ti = "15/26576/13264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26576/13264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26576 ÷ 215
    26576 ÷ 32768     		x = 0.81103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13264 ÷ 215
    13264 ÷ 32768     		y = 0.40478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81103515625 × 2 - 1) × π
    0.6220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95429152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    0.1904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.598252507258301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95429152} λ = 1.95429152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598252507258301))-π/2
    2×atan(1.81893744152266)-π/2
    2×1.06812855014652-π/2
    2.13625710029304-1.57079632675     		φ = 0.56546077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95429152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56546077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.398516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26576 KachelY 13264 1.95429152 0.56546077 111.972656 32.398516
    Oben rechts KachelX + 1 26577 KachelY 13264 1.95448327 0.56546077 111.983643 32.398516
    Unten links KachelX 26576 KachelY + 1 13265 1.95429152 0.56529886 111.972656 32.389239
    Unten rechts KachelX + 1 26577 KachelY + 1 13265 1.95448327 0.56529886 111.983643 32.389239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56546077-0.56529886) × R
    0.000161909999999987 × 6371000     		dl = 1031.52860999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56546077-0.56529886) × R
    0.000161909999999987 × 6371000     		dr = 1031.52860999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95429152-1.95448327) × cos(0.56546077) × R
    0.000191750000000157 × 0.844341807229663 × 6371000     		do = 1031.48109212854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95429152-1.95448327) × cos(0.56529886) × R
    0.000191750000000157 × 0.844428548336776 × 6371000     		du = 1031.58705846957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56546077)-sin(0.56529886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844341807229663-0.844428548336776)×R²
    abs(1.95448327-1.95429152)×8.67411071125979e-05×R²
    0.000191750000000157×8.67411071125979e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.67411071125979e-05×40589641000000     		ar = 1064056.91318523m²