Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26575 / 51025
↖ ↑ ↗
← S 70.290969°
W 34.019165°		 ← 206.01 m → S 70.290969°
W 34.013672°		 →
↑
205.97 m
↓
↑
205.97 m
↓
S 70.292822°
W 34.019165°		 ← 205.99 m →
42 430 m²		 S 70.292822°
W 34.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405509948730469 y=0.778587341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405509948730469 × 216)
    floor (0.405509948730469 × 65536)
    floor (26575.5)     		tx = 26575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778587341308594 × 216)
    floor (0.778587341308594 × 65536)
    floor (51025.5)     		ty = 51025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26575 / 51025 ti = "16/26575/51025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26575/51025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26575 ÷ 216
    26575 ÷ 65536     		x = 0.405502319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51025 ÷ 216
    51025 ÷ 65536     		y = 0.778579711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405502319335938 × 2 - 1) × π
    -0.188995361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59374644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778579711914062 × 2 - 1) × π
    -0.557159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75036795272673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59374644} λ = -0.59374644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75036795272673))-π/2
    2×atan(0.173710014616234)-π/2
    2×0.171993739389507-π/2
    0.343987478779014-1.57079632675     		φ = -1.22680885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59374644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.019165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22680885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.290969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26575 KachelY 51025 -0.59374644 -1.22680885 -34.019165 -70.290969
    Oben rechts KachelX + 1 26576 KachelY 51025 -0.59365056 -1.22680885 -34.013672 -70.290969
    Unten links KachelX 26575 KachelY + 1 51026 -0.59374644 -1.22684118 -34.019165 -70.292822
    Unten rechts KachelX + 1 26576 KachelY + 1 51026 -0.59365056 -1.22684118 -34.013672 -70.292822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22680885--1.22684118) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dl = 205.974430000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22680885--1.22684118) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dr = 205.974430000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59374644--0.59365056) × cos(-1.22680885) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337243643316937 × 6371000     		do = 206.005778640608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59374644--0.59365056) × cos(-1.22684118) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337213207116082 × 6371000     		du = 205.98718664227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22680885)-sin(-1.22684118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337243643316937-0.337213207116082)×R²
    abs(-0.59365056--0.59374644)×3.04362008541337e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.04362008541337e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.04362008541337e-05×40589641000000     		ar = 42430.0080975756m²