Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26575 / 47109
↖ ↑ ↗
← S 61.619454°
W 34.019165°		 ← 290.35 m → S 61.619454°
W 34.013672°		 →
↑
290.33 m
↓
↑
290.33 m
↓
S 61.622065°
W 34.019165°		 ← 290.33 m →
84 294 m²		 S 61.622065°
W 34.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405509948730469 y=0.718833923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405509948730469 × 216)
    floor (0.405509948730469 × 65536)
    floor (26575.5)     		tx = 26575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718833923339844 × 216)
    floor (0.718833923339844 × 65536)
    floor (47109.5)     		ty = 47109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26575 / 47109 ti = "16/26575/47109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26575/47109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26575 ÷ 216
    26575 ÷ 65536     		x = 0.405502319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47109 ÷ 216
    47109 ÷ 65536     		y = 0.718826293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405502319335938 × 2 - 1) × π
    -0.188995361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59374644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718826293945312 × 2 - 1) × π
    -0.437652587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37492615490245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59374644} λ = -0.59374644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37492615490245))-π/2
    2×atan(0.25285826745876)-π/2
    2×0.247666982740053-π/2
    0.495333965480106-1.57079632675     		φ = -1.07546236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59374644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.019165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07546236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.619454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26575 KachelY 47109 -0.59374644 -1.07546236 -34.019165 -61.619454
    Oben rechts KachelX + 1 26576 KachelY 47109 -0.59365056 -1.07546236 -34.013672 -61.619454
    Unten links KachelX 26575 KachelY + 1 47110 -0.59374644 -1.07550793 -34.019165 -61.622065
    Unten rechts KachelX + 1 26576 KachelY + 1 47110 -0.59365056 -1.07550793 -34.013672 -61.622065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07546236--1.07550793) × R
    4.55699999999393e-05 × 6371000     		dl = 290.326469999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07546236--1.07550793) × R
    4.55699999999393e-05 × 6371000     		dr = 290.326469999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59374644--0.59365056) × cos(-1.07546236) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.475325505104074 × 6371000     		do = 290.353288274381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59374644--0.59365056) × cos(-1.07550793) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.475285411668124 × 6371000     		du = 290.328797139692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07546236)-sin(-1.07550793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475325505104074-0.475285411668124)×R²
    abs(-0.59365056--0.59374644)×4.00934359501282e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.00934359501282e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.00934359501282e-05×40589641000000     		ar = 84293.6900399672m²