Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26571 / 24971
↖ ↑ ↗
← S 68.183807°
E111.917725°		 ← 453.97 m → S 68.183807°
E111.928711°		 →
↑
453.93 m
↓
↑
453.93 m
↓
S 68.187889°
E111.917725°		 ← 453.89 m →
206 056 m²		 S 68.187889°
E111.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810897827148438 y=0.762069702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810897827148438 × 215)
    floor (0.810897827148438 × 32768)
    floor (26571.5)     		tx = 26571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762069702148438 × 215)
    floor (0.762069702148438 × 32768)
    floor (24971.5)     		ty = 24971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26571 / 24971 ti = "15/26571/24971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26571/24971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26571 ÷ 215
    26571 ÷ 32768     		x = 0.810882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24971 ÷ 215
    24971 ÷ 32768     		y = 0.762054443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810882568359375 × 2 - 1) × π
    0.62176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95333279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762054443359375 × 2 - 1) × π
    -0.52410888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64653662814969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95333279} λ = 1.95333279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64653662814969))-π/2
    2×atan(0.192716202013003)-π/2
    2×0.190382198942061-π/2
    0.380764397884122-1.57079632675     		φ = -1.19003193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95333279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.917725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19003193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.183807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26571 KachelY 24971 1.95333279 -1.19003193 111.917725 -68.183807
    Oben rechts KachelX + 1 26572 KachelY 24971 1.95352453 -1.19003193 111.928711 -68.183807
    Unten links KachelX 26571 KachelY + 1 24972 1.95333279 -1.19010318 111.917725 -68.187889
    Unten rechts KachelX + 1 26572 KachelY + 1 24972 1.95352453 -1.19010318 111.928711 -68.187889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19003193--1.19010318) × R
    7.12499999999672e-05 × 6371000     		dl = 453.933749999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19003193--1.19010318) × R
    7.12499999999672e-05 × 6371000     		dr = 453.933749999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95333279-1.95352453) × cos(-1.19003193) × R
    0.000191739999999996 × 0.371630229249955 × 6371000     		do = 453.974397976328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95333279-1.95352453) × cos(-1.19010318) × R
    0.000191739999999996 × 0.371564081172296 × 6371000     		du = 453.893593102641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19003193)-sin(-1.19010318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371630229249955-0.371564081172296)×R²
    abs(1.95352453-1.95333279)×6.61480776596446e-05×R²
    0.000191739999999996×6.61480776596446e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.61480776596446e-05×40589641000000     		ar = 206055.96093494m²