Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26571 / 10692
↖ ↑ ↗
← N 52.882391°
E111.917725°		 ← 737.16 m → N 52.882391°
E111.928711°		 →
↑
737.25 m
↓
↑
737.25 m
↓
N 52.875761°
E111.917725°		 ← 737.28 m →
543 517 m²		 N 52.875761°
E111.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810897827148438 y=0.326309204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810897827148438 × 215)
    floor (0.810897827148438 × 32768)
    floor (26571.5)     		tx = 26571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326309204101562 × 215)
    floor (0.326309204101562 × 32768)
    floor (10692.5)     		ty = 10692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26571 / 10692 ti = "15/26571/10692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26571/10692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26571 ÷ 215
    26571 ÷ 32768     		x = 0.810882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10692 ÷ 215
    10692 ÷ 32768     		y = 0.3262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810882568359375 × 2 - 1) × π
    0.62176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95333279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3262939453125 × 2 - 1) × π
    0.347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09142733054944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95333279} λ = 1.95333279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09142733054944))-π/2
    2×atan(2.9785223759546)-π/2
    2×1.24688408496615-π/2
    2.49376816993229-1.57079632675     		φ = 0.92297184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95333279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.917725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92297184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.882391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26571 KachelY 10692 1.95333279 0.92297184 111.917725 52.882391
    Oben rechts KachelX + 1 26572 KachelY 10692 1.95352453 0.92297184 111.928711 52.882391
    Unten links KachelX 26571 KachelY + 1 10693 1.95333279 0.92285612 111.917725 52.875761
    Unten rechts KachelX + 1 26572 KachelY + 1 10693 1.95352453 0.92285612 111.928711 52.875761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92297184-0.92285612) × R
    0.000115720000000041 × 6371000     		dl = 737.252120000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92297184-0.92285612) × R
    0.000115720000000041 × 6371000     		dr = 737.252120000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95333279-1.95352453) × cos(0.92297184) × R
    0.000191739999999996 × 0.603453084156052 × 6371000     		do = 737.163527142579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95333279-1.95352453) × cos(0.92285612) × R
    0.000191739999999996 × 0.603545355070349 × 6371000     		du = 737.276243034537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92297184)-sin(0.92285612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603453084156052-0.603545355070349)×R²
    abs(1.95352453-1.95333279)×9.22709142966438e-05×R²
    0.000191739999999996×9.22709142966438e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.22709142966438e-05×40589641000000     		ar = 543516.923794302m²