Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26570 / 10690
↖ ↑ ↗
← N 52.895649°
E111.906738°		 ← 736.98 m → N 52.895649°
E111.917725°		 →
↑
737 m
↓
↑
737 m
↓
N 52.889021°
E111.906738°		 ← 737.09 m →
543 191 m²		 N 52.889021°
E111.917725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810867309570312 y=0.326248168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810867309570312 × 215)
    floor (0.810867309570312 × 32768)
    floor (26570.5)     		tx = 26570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326248168945312 × 215)
    floor (0.326248168945312 × 32768)
    floor (10690.5)     		ty = 10690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26570 / 10690 ti = "15/26570/10690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26570/10690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26570 ÷ 215
    26570 ÷ 32768     		x = 0.81085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10690 ÷ 215
    10690 ÷ 32768     		y = 0.32623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81085205078125 × 2 - 1) × π
    0.6217041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95314104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32623291015625 × 2 - 1) × π
    0.3475341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0918108257464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95314104} λ = 1.95314104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0918108257464))-π/2
    2×atan(2.97966484403132)-π/2
    2×1.24699977795404-π/2
    2.49399955590809-1.57079632675     		φ = 0.92320323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95314104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.906738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92320323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.895649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26570 KachelY 10690 1.95314104 0.92320323 111.906738 52.895649
    Oben rechts KachelX + 1 26571 KachelY 10690 1.95333279 0.92320323 111.917725 52.895649
    Unten links KachelX 26570 KachelY + 1 10691 1.95314104 0.92308755 111.906738 52.889021
    Unten rechts KachelX + 1 26571 KachelY + 1 10691 1.95333279 0.92308755 111.917725 52.889021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92320323-0.92308755) × R
    0.000115680000000062 × 6371000     		dl = 736.997280000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92320323-0.92308755) × R
    0.000115680000000062 × 6371000     		dr = 736.997280000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95314104-1.95333279) × cos(0.92320323) × R
    0.000191749999999935 × 0.603268557962866 × 6371000     		do = 736.976548698087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95314104-1.95333279) × cos(0.92308755) × R
    0.000191749999999935 × 0.603360813135527 × 6371000     		du = 737.089251238026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92320323)-sin(0.92308755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603268557962866-0.603360813135527)×R²
    abs(1.95333279-1.95314104)×9.22551726610932e-05×R²
    0.000191749999999935×9.22551726610932e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.22551726610932e-05×40589641000000     		ar = 543191.243153034m²