Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26569 / 10697
↖ ↑ ↗
← N 52.849230°
E111.895752°		 ← 737.77 m → N 52.849230°
E111.906738°		 →
↑
737.83 m
↓
↑
737.83 m
↓
N 52.842595°
E111.895752°		 ← 737.88 m →
544 384 m²		 N 52.842595°
E111.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810836791992188 y=0.326461791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810836791992188 × 215)
    floor (0.810836791992188 × 32768)
    floor (26569.5)     		tx = 26569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326461791992188 × 215)
    floor (0.326461791992188 × 32768)
    floor (10697.5)     		ty = 10697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26569 / 10697 ti = "15/26569/10697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26569/10697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26569 ÷ 215
    26569 ÷ 32768     		x = 0.810821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10697 ÷ 215
    10697 ÷ 32768     		y = 0.326446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810821533203125 × 2 - 1) × π
    0.62164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95294929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326446533203125 × 2 - 1) × π
    0.34710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09046859255704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95294929} λ = 1.95294929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09046859255704))-π/2
    2×atan(2.97566812185111)-π/2
    2×1.24659469768063-π/2
    2.49318939536127-1.57079632675     		φ = 0.92239307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95294929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.895752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92239307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.849230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26569 KachelY 10697 1.95294929 0.92239307 111.895752 52.849230
    Oben rechts KachelX + 1 26570 KachelY 10697 1.95314104 0.92239307 111.906738 52.849230
    Unten links KachelX 26569 KachelY + 1 10698 1.95294929 0.92227726 111.895752 52.842595
    Unten rechts KachelX + 1 26570 KachelY + 1 10698 1.95314104 0.92227726 111.906738 52.842595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92239307-0.92227726) × R
    0.000115810000000049 × 6371000     		dl = 737.825510000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92239307-0.92227726) × R
    0.000115810000000049 × 6371000     		dr = 737.825510000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95294929-1.95314104) × cos(0.92239307) × R
    0.000191749999999935 × 0.603914493392065 × 6371000     		do = 737.765648771362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95294929-1.95314104) × cos(0.92227726) × R
    0.000191749999999935 × 0.604006795599517 × 6371000     		du = 737.878408770848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92239307)-sin(0.92227726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603914493392065-0.604006795599517)×R²
    abs(1.95314104-1.95294929)×9.23022074522661e-05×R²
    0.000191749999999935×9.23022074522661e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.23022074522661e-05×40589641000000     		ar = 544383.915275826m²