Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26568 / 13256
↖ ↑ ↗
← N 32.472695°
E111.884765°		 ← 1 030.63 m → N 32.472695°
E111.895752°		 →
↑
1 030.70 m
↓
↑
1 030.70 m
↓
N 32.463426°
E111.884765°		 ← 1 030.74 m →
1 062 328 m²		 N 32.463426°
E111.895752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810806274414062 y=0.404556274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810806274414062 × 215)
    floor (0.810806274414062 × 32768)
    floor (26568.5)     		tx = 26568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404556274414062 × 215)
    floor (0.404556274414062 × 32768)
    floor (13256.5)     		ty = 13256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26568 / 13256 ti = "15/26568/13256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26568/13256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26568 ÷ 215
    26568 ÷ 32768     		x = 0.810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13256 ÷ 215
    13256 ÷ 32768     		y = 0.404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810791015625 × 2 - 1) × π
    0.62158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95275754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404541015625 × 2 - 1) × π
    0.19091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.599786488046143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95275754} λ = 1.95275754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.599786488046143))-π/2
    2×atan(1.82172979777511)-π/2
    2×1.06877588595569-π/2
    2.13755177191138-1.57079632675     		φ = 0.56675545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95275754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.884765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56675545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.472695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26568 KachelY 13256 1.95275754 0.56675545 111.884765 32.472695
    Oben rechts KachelX + 1 26569 KachelY 13256 1.95294929 0.56675545 111.895752 32.472695
    Unten links KachelX 26568 KachelY + 1 13257 1.95275754 0.56659367 111.884765 32.463426
    Unten rechts KachelX + 1 26569 KachelY + 1 13257 1.95294929 0.56659367 111.895752 32.463426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56675545-0.56659367) × R
    0.00016178 × 6371000     		dl = 1030.70038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56675545-0.56659367) × R
    0.00016178 × 6371000     		dr = 1030.70038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95275754-1.95294929) × cos(0.56675545) × R
    0.000191750000000157 × 0.8436474038681 × 6371000     		do = 1030.63278172672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95275754-1.95294929) × cos(0.56659367) × R
    0.000191750000000157 × 0.843734252124931 × 6371000     		du = 1030.73887896606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56675545)-sin(0.56659367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8436474038681-0.843734252124931)×R²
    abs(1.95294929-1.95275754)×8.68482568308071e-05×R²
    0.000191750000000157×8.68482568308071e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.68482568308071e-05×40589641000000     		ar = 1062328.27931538m²