Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26568 / 13240
↖ ↑ ↗
← N 32.620870°
E111.884765°		 ← 1 028.93 m → N 32.620870°
E111.895752°		 →
↑
1 028.98 m
↓
↑
1 028.98 m
↓
N 32.611616°
E111.884765°		 ← 1 029.04 m →
1 058 807 m²		 N 32.611616°
E111.895752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810806274414062 y=0.404067993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810806274414062 × 215)
    floor (0.810806274414062 × 32768)
    floor (26568.5)     		tx = 26568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404067993164062 × 215)
    floor (0.404067993164062 × 32768)
    floor (13240.5)     		ty = 13240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26568 / 13240 ti = "15/26568/13240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26568/13240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26568 ÷ 215
    26568 ÷ 32768     		x = 0.810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13240 ÷ 215
    13240 ÷ 32768     		y = 0.404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810791015625 × 2 - 1) × π
    0.62158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95275754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404052734375 × 2 - 1) × π
    0.19189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.602854449621826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95275754} λ = 1.95275754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.602854449621826))-π/2
    2×atan(1.82732737698438)-π/2
    2×1.07006895817127-π/2
    2.14013791634254-1.57079632675     		φ = 0.56934159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95275754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.884765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56934159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.620870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26568 KachelY 13240 1.95275754 0.56934159 111.884765 32.620870
    Oben rechts KachelX + 1 26569 KachelY 13240 1.95294929 0.56934159 111.895752 32.620870
    Unten links KachelX 26568 KachelY + 1 13241 1.95275754 0.56918008 111.884765 32.611616
    Unten rechts KachelX + 1 26569 KachelY + 1 13241 1.95294929 0.56918008 111.895752 32.611616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56934159-0.56918008) × R
    0.000161509999999976 × 6371000     		dl = 1028.98020999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56934159-0.56918008) × R
    0.000161509999999976 × 6371000     		dr = 1028.98020999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95275754-1.95294929) × cos(0.56934159) × R
    0.000191750000000157 × 0.842256091790206 × 6371000     		do = 1028.93310028336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95275754-1.95294929) × cos(0.56918008) × R
    0.000191750000000157 × 0.842343147230226 × 6371000     		du = 1029.03945062582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56934159)-sin(0.56918008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842256091790206-0.842343147230226)×R²
    abs(1.95294929-1.95275754)×8.70554400199675e-05×R²
    0.000191750000000157×8.70554400199675e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.70554400199675e-05×40589641000000     		ar = 1058806.51610624m²