Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26566 / 47158
↖ ↑ ↗
← S 61.747131°
W 34.068603°		 ← 289.12 m → S 61.747131°
W 34.063110°		 →
↑
289.12 m
↓
↑
289.12 m
↓
S 61.749731°
W 34.068603°		 ← 289.10 m →
83 587 m²		 S 61.749731°
W 34.063110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405372619628906 y=0.719581604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405372619628906 × 216)
    floor (0.405372619628906 × 65536)
    floor (26566.5)     		tx = 26566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719581604003906 × 216)
    floor (0.719581604003906 × 65536)
    floor (47158.5)     		ty = 47158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26566 / 47158 ti = "16/26566/47158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26566/47158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26566 ÷ 216
    26566 ÷ 65536     		x = 0.405364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47158 ÷ 216
    47158 ÷ 65536     		y = 0.719573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.18927001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59460930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.43914794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37962397106522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59460930} λ = -0.59460930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37962397106522))-π/2
    2×atan(0.25167317166363)-π/2
    2×0.246552791912498-π/2
    0.493105583824996-1.57079632675     		φ = -1.07769074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59460930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.068603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07769074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.747131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26566 KachelY 47158 -0.59460930 -1.07769074 -34.068603 -61.747131
    Oben rechts KachelX + 1 26567 KachelY 47158 -0.59451343 -1.07769074 -34.063110 -61.747131
    Unten links KachelX 26566 KachelY + 1 47159 -0.59460930 -1.07773612 -34.068603 -61.749731
    Unten rechts KachelX + 1 26567 KachelY + 1 47159 -0.59451343 -1.07773612 -34.063110 -61.749731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07769074--1.07773612) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dl = 289.115979999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07769074--1.07773612) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dr = 289.115979999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59460930--0.59451343) × cos(-1.07769074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.473363775527192 × 6371000     		do = 289.124804853028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59460930--0.59451343) × cos(-1.07773612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.473323801293679 × 6371000     		du = 289.100389080083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07769074)-sin(-1.07773612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.473363775527192-0.473323801293679)×R²
    abs(-0.59451343--0.59460930)×3.99742335128739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99742335128739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99742335128739e-05×40589641000000     		ar = 83587.0718169234m²