Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26565 / 13251
↖ ↑ ↗
← N 32.519026°
E111.851807°		 ← 1 030.10 m → N 32.519026°
E111.862793°		 →
↑
1 030.13 m
↓
↑
1 030.13 m
↓
N 32.509762°
E111.851807°		 ← 1 030.21 m →
1 061 191 m²		 N 32.509762°
E111.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810714721679688 y=0.404403686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810714721679688 × 215)
    floor (0.810714721679688 × 32768)
    floor (26565.5)     		tx = 26565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404403686523438 × 215)
    floor (0.404403686523438 × 32768)
    floor (13251.5)     		ty = 13251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26565 / 13251 ti = "15/26565/13251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26565/13251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26565 ÷ 215
    26565 ÷ 32768     		x = 0.810699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13251 ÷ 215
    13251 ÷ 32768     		y = 0.404388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810699462890625 × 2 - 1) × π
    0.62139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95218230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404388427734375 × 2 - 1) × π
    0.19122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.600745226038544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95218230} λ = 1.95218230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.600745226038544))-π/2
    2×atan(1.82347719685922)-π/2
    2×1.06918020025387-π/2
    2.13836040050774-1.57079632675     		φ = 0.56756407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95218230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.851807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56756407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.519026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26565 KachelY 13251 1.95218230 0.56756407 111.851807 32.519026
    Oben rechts KachelX + 1 26566 KachelY 13251 1.95237405 0.56756407 111.862793 32.519026
    Unten links KachelX 26565 KachelY + 1 13252 1.95218230 0.56740238 111.851807 32.509762
    Unten rechts KachelX + 1 26566 KachelY + 1 13252 1.95237405 0.56740238 111.862793 32.509762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56756407-0.56740238) × R
    0.000161689999999992 × 6371000     		dl = 1030.12698999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56756407-0.56740238) × R
    0.000161689999999992 × 6371000     		dr = 1030.12698999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95218230-1.95237405) × cos(0.56756407) × R
    0.000191749999999935 × 0.843212981942938 × 6371000     		do = 1030.10207485069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95218230-1.95237405) × cos(0.56740238) × R
    0.000191749999999935 × 0.843299892171876 × 6371000     		du = 1030.20824779758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56756407)-sin(0.56740238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843212981942938-0.843299892171876)×R²
    abs(1.95237405-1.95218230)×8.69102289379198e-05×R²
    0.000191749999999935×8.69102289379198e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.69102289379198e-05×40589641000000     		ar = 1061190.6378793m²