Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26563 / 13252
↖ ↑ ↗
← N 32.509762°
E111.829834°		 ← 1 030.21 m → N 32.509762°
E111.840820°		 →
↑
1 030.25 m
↓
↑
1 030.25 m
↓
N 32.500496°
E111.829834°		 ← 1 030.31 m →
1 061 431 m²		 N 32.500496°
E111.840820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810653686523438 y=0.404434204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810653686523438 × 215)
    floor (0.810653686523438 × 32768)
    floor (26563.5)     		tx = 26563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404434204101562 × 215)
    floor (0.404434204101562 × 32768)
    floor (13252.5)     		ty = 13252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26563 / 13252 ti = "15/26563/13252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26563/13252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26563 ÷ 215
    26563 ÷ 32768     		x = 0.810638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13252 ÷ 215
    13252 ÷ 32768     		y = 0.4044189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810638427734375 × 2 - 1) × π
    0.62127685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95179880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4044189453125 × 2 - 1) × π
    0.191162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.600553478440063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95179880} λ = 1.95179880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.600553478440063))-π/2
    2×atan(1.82312758300572)-π/2
    2×1.06909935405554-π/2
    2.13819870811108-1.57079632675     		φ = 0.56740238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95179880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.829834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56740238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.509762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26563 KachelY 13252 1.95179880 0.56740238 111.829834 32.509762
    Oben rechts KachelX + 1 26564 KachelY 13252 1.95199055 0.56740238 111.840820 32.509762
    Unten links KachelX 26563 KachelY + 1 13253 1.95179880 0.56724067 111.829834 32.500496
    Unten rechts KachelX + 1 26564 KachelY + 1 13253 1.95199055 0.56724067 111.840820 32.500496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56740238-0.56724067) × R
    0.000161709999999982 × 6371000     		dl = 1030.25440999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56740238-0.56724067) × R
    0.000161709999999982 × 6371000     		dr = 1030.25440999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95179880-1.95199055) × cos(0.56740238) × R
    0.000191750000000157 × 0.843299892171876 × 6371000     		do = 1030.20824779878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95179880-1.95199055) × cos(0.56724067) × R
    0.000191750000000157 × 0.84338679110001 × 6371000     		du = 1030.31440694017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56740238)-sin(0.56724067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843299892171876-0.84338679110001)×R²
    abs(1.95199055-1.95179880)×8.68989281340715e-05×R²
    0.000191750000000157×8.68989281340715e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.68989281340715e-05×40589641000000     		ar = 1061431.27828795m²