Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26562 / 13246
↖ ↑ ↗
← N 32.565333°
E111.818848°		 ← 1 029.52 m → N 32.565333°
E111.829834°		 →
↑
1 029.62 m
↓
↑
1 029.62 m
↓
N 32.556074°
E111.818848°		 ← 1 029.62 m →
1 060 063 m²		 N 32.556074°
E111.829834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810623168945312 y=0.404251098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810623168945312 × 215)
    floor (0.810623168945312 × 32768)
    floor (26562.5)     		tx = 26562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404251098632812 × 215)
    floor (0.404251098632812 × 32768)
    floor (13246.5)     		ty = 13246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26562 / 13246 ti = "15/26562/13246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26562/13246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26562 ÷ 215
    26562 ÷ 32768     		x = 0.81060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13246 ÷ 215
    13246 ÷ 32768     		y = 0.40423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81060791015625 × 2 - 1) × π
    0.6212158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95160706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40423583984375 × 2 - 1) × π
    0.1915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.601703964030945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95160706} λ = 1.95160706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.601703964030945))-π/2
    2×atan(1.82522627204457)-π/2
    2×1.06958430622299-π/2
    2.13916861244597-1.57079632675     		φ = 0.56837229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95160706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.818848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56837229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.565333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26562 KachelY 13246 1.95160706 0.56837229 111.818848 32.565333
    Oben rechts KachelX + 1 26563 KachelY 13246 1.95179880 0.56837229 111.829834 32.565333
    Unten links KachelX 26562 KachelY + 1 13247 1.95160706 0.56821068 111.818848 32.556074
    Unten rechts KachelX + 1 26563 KachelY + 1 13247 1.95179880 0.56821068 111.829834 32.556074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56837229-0.56821068) × R
    0.000161610000000034 × 6371000     		dl = 1029.61731000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56837229-0.56821068) × R
    0.000161610000000034 × 6371000     		dr = 1029.61731000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95160706-1.95179880) × cos(0.56837229) × R
    0.000191739999999996 × 0.842778223973703 × 6371000     		do = 1029.51726405089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95160706-1.95179880) × cos(0.56821068) × R
    0.000191739999999996 × 0.842865201321938 × 6371000     		du = 1029.62351345203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56837229)-sin(0.56821068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842778223973703-0.842865201321938)×R²
    abs(1.95179880-1.95160706)×8.69773482345959e-05×R²
    0.000191739999999996×8.69773482345959e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.69773482345959e-05×40589641000000     		ar = 1060063.49642908m²