Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26561 / 11179
↖ ↑ ↗
← N 49.532339°
E111.807861°		 ← 792.87 m → N 49.532339°
E111.818848°		 →
↑
792.93 m
↓
↑
792.93 m
↓
N 49.525208°
E111.807861°		 ← 792.98 m →
628 737 m²		 N 49.525208°
E111.818848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810592651367188 y=0.341171264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810592651367188 × 215)
    floor (0.810592651367188 × 32768)
    floor (26561.5)     		tx = 26561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341171264648438 × 215)
    floor (0.341171264648438 × 32768)
    floor (11179.5)     		ty = 11179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26561 / 11179 ti = "15/26561/11179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26561/11179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26561 ÷ 215
    26561 ÷ 32768     		x = 0.810577392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11179 ÷ 215
    11179 ÷ 32768     		y = 0.341156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810577392578125 × 2 - 1) × π
    0.62115478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95141531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341156005859375 × 2 - 1) × π
    0.31768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.998046250089569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95141531} λ = 1.95141531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.998046250089569))-π/2
    2×atan(2.71297617023251)-π/2
    2×1.21764936597213-π/2
    2.43529873194426-1.57079632675     		φ = 0.86450241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95141531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.807861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86450241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.532339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26561 KachelY 11179 1.95141531 0.86450241 111.807861 49.532339
    Oben rechts KachelX + 1 26562 KachelY 11179 1.95160706 0.86450241 111.818848 49.532339
    Unten links KachelX 26561 KachelY + 1 11180 1.95141531 0.86437795 111.807861 49.525208
    Unten rechts KachelX + 1 26562 KachelY + 1 11180 1.95160706 0.86437795 111.818848 49.525208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86450241-0.86437795) × R
    0.000124460000000104 × 6371000     		dl = 792.934660000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86450241-0.86437795) × R
    0.000124460000000104 × 6371000     		dr = 792.934660000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95141531-1.95160706) × cos(0.86450241) × R
    0.000191749999999935 × 0.649018748762898 × 6371000     		do = 792.866777474377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95141531-1.95160706) × cos(0.86437795) × R
    0.000191749999999935 × 0.64911342947038 × 6371000     		du = 792.982443142854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86450241)-sin(0.86437795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649018748762898-0.64911342947038)×R²
    abs(1.95160706-1.95141531)×9.46807074814204e-05×R²
    0.000191749999999935×9.46807074814204e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.46807074814204e-05×40589641000000     		ar = 628737.407092702m²