Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26561 / 10679
↖ ↑ ↗
← N 52.968492°
E111.807861°		 ← 735.74 m → N 52.968492°
E111.818848°		 →
↑
735.79 m
↓
↑
735.79 m
↓
N 52.961875°
E111.807861°		 ← 735.85 m →
541 387 m²		 N 52.961875°
E111.818848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810592651367188 y=0.325912475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810592651367188 × 215)
    floor (0.810592651367188 × 32768)
    floor (26561.5)     		tx = 26561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325912475585938 × 215)
    floor (0.325912475585938 × 32768)
    floor (10679.5)     		ty = 10679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26561 / 10679 ti = "15/26561/10679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26561/10679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26561 ÷ 215
    26561 ÷ 32768     		x = 0.810577392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10679 ÷ 215
    10679 ÷ 32768     		y = 0.325897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810577392578125 × 2 - 1) × π
    0.62115478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95141531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325897216796875 × 2 - 1) × π
    0.34820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09392004932968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95141531} λ = 1.95141531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09392004932968))-π/2
    2×atan(2.98595625605549)-π/2
    2×1.24763545710283-π/2
    2.49527091420566-1.57079632675     		φ = 0.92447459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95141531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.807861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92447459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.968492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26561 KachelY 10679 1.95141531 0.92447459 111.807861 52.968492
    Oben rechts KachelX + 1 26562 KachelY 10679 1.95160706 0.92447459 111.818848 52.968492
    Unten links KachelX 26561 KachelY + 1 10680 1.95141531 0.92435910 111.807861 52.961875
    Unten rechts KachelX + 1 26562 KachelY + 1 10680 1.95160706 0.92435910 111.818848 52.961875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92447459-0.92435910) × R
    0.000115489999999996 × 6371000     		dl = 735.786789999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92447459-0.92435910) × R
    0.000115489999999996 × 6371000     		dr = 735.786789999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95141531-1.95160706) × cos(0.92447459) × R
    0.000191749999999935 × 0.602254112628076 × 6371000     		do = 735.737262460129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95141531-1.95160706) × cos(0.92435910) × R
    0.000191749999999935 × 0.602346304791586 × 6371000     		du = 735.849888025616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92447459)-sin(0.92435910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602254112628076-0.602346304791586)×R²
    abs(1.95160706-1.95141531)×9.21921635104184e-05×R²
    0.000191749999999935×9.21921635104184e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.21921635104184e-05×40589641000000     		ar = 541387.193431919m²